leetcode 第64题:Minimum Path Sum
给定一个m*n的非负整数矩阵,找到一条从左上角到右下角的路径,使得该路径上的数字之和最小。
分析:
要使得和最小,则要求在每个格子上只能向下或向右两种走法。
如果用穷举法,由于所有可能路径为(m-1)+(n-1) = m+n-2种,即m-1步向下走,n-1步向右走,所以所有可能情况为C(m+n-2, m-1),由于随着m和n的增大,该数会非常大,所以穷举法是不可行的。所以,考虑用动态规划的方法来解,用一个二维数组dp[i][j]来记录到达(i,j)时的最小路径和。
dp[i,j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
其中:dp[i-1][j] 表示从上方过来;
dp[i][j-1] 表示从左边过来。初值:
dp[0][0] = grid[0][0]
dp[0][j>0] = grid[0][j-1] //第0行
dp[i>0][0] = grid[i-1][0] //第0列算法复杂度
时间:O(m*n)
空间:O(m*n)
代码一
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
vector<vector<int> > dp(m, vector<int>(n));
for (int i=0; i<m; ++i) {
for (int j=0; j<n; ++j) {
if (i==0) {
if (j==0) {
dp[i][j] = grid[i][j];
} else {
dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j];
}
} else if(j == 0) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j];
} else {
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
}
}
}
return dp[m-1][n-1];
}
};
优化空间复杂度,将二维dp降为一维。
代码二:
class Solution {
public:
int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
int m = grid.size(), n = grid[0].size();
vector<int> dp(n);
for (int i=0; i<m; ++i) {
for (int j=0; j<n; ++j) {
if (i==0) {
if (j==0) {
dp[j] = grid[i][j];
} else {
dp[j] = dp[j-1] + grid[i][j];
}
} else if(j == 0) {
dp[j] = dp[j] + grid[i][j];
} else {
dp[j] = min(dp[j], dp[j-1]) + grid[i][j];
}
}
}
return dp[n-1];
}
};
注意:dp最优时应该为m和n中较小的一个,如果较小的是m,则需要对矩阵进行转置,操作比较麻烦,因此这里使用n作为dp的大小。