线性常数齐次递推总结

本文为作者的一些理解，如有错误之处请指出。

概念

其实就是这样一个式子：
\[ a_n=\alpha_1a_{n-1}+\alpha_2a_{n-2}+\alpha_3a_{n-3}+...+\alpha_ka_{n-k} \]
因为它是线性的，没有高次的项，而且次数都相等，没有一些不是常数的奇怪函数夹在里面
所以它叫这个名字
还有它的特征方程是
\[ x^k=\alpha_1x^{k-1}+\alpha_2x^{n-2}+\alpha_3x^{n-3}+...+\alpha_kx^{n-k} \]
这个解出来会有很大的用途

应用

主要是考虑\(k=2\)的情况主要是高次我不会
那么就是
\[ f_n=\alpha_1f_{n-1}+\alpha_2f_{n-2} \]
它的一个特征方程
\[ x^2=\alpha_1x^+\alpha_2 \]
有三种解的情况：

1.两个实根：
有
\[ f_n=cx_1^n+dx_2^n \]
我们将几个知道\(f_n\)的\(n\)带进去，就可以解出来了
例如斐波那契数列：
\[ f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\\ f_0=0,f_1=1 \]
特征方程:
\[ x^2=x+1\\ x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2} \]
代入\(f_0=0,f_1=1\)
\[\begin{cases} 0=c+d\\ \\ \\ 1=c*\frac{1+\sqrt5}{2}+d*\frac{1-\sqrt5}{2} \end{cases}\]
解得
\[ c=\frac{\sqrt 5}{5},d=-\frac{\sqrt 5}{5} \]
所以通项公式
\[ f_n=\frac{\sqrt 5}{5}\left((\frac{1+\sqrt5}{2})^n-(\frac{1-\sqrt5}{2})^n\right) \]

2.一个实根
和上面一样代
其中
\[ f_n=(c+dn)x^n \]

3.有一组共轭复根
有一对共轭复根\(x_1=ρeiθ\)和\(x_2=ρe-iθ\)时，
\(f_n=c*ρncosnθ+d*ρnsinnθ\)
其中，\(c,d\)是待定系数。

一些题目

以后再补，咕咕咕