一般分配模型
一、问题描述
问题描述:N个人分配N项任务,一个人只能分配一项任务,一项任务只能分配给一个人,将一项任务分配给一个人是需要支付报酬,如何分配任务,保证支付的报酬总数最小。
问题数学描述:
注意,这个规划问题是整数线性规划(ILP)问题,也就是说,两个约束方程,保证每个任务被分配一次。决策变量仅允许取离散值0/1
二、实例分析---穷举法
在讲将匈牙利算法解决任务问题之前,先分析几个具体实例。
以3个工作人员和3项任务为实例,下图为薪酬图表和根据薪酬图表所得的cost矩阵。
利用最简单的方法(穷举法)进行求解,计算出所有分配情况的总薪酬开销,然后求最小值。
total_cost1 = 250 + 600 + 250 = 1100; x00 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
total_cost2 = 250 + 350 + 400 = 1000; x00 = 1,x12 = 1,x21 = 1;
total_cost3 = 400 + 400 + 250 = 1050; x01 = 1,x10 = 1,x22 = 1;
total_cost4 = 400 + 350 + 200 = 950; x01 = 1,x12 = 1,x20 = 1; //最优分配
total_cost5 = 350 + 400 + 400 = 1150; x02 = 1,x10 = 1,x21 = 1;
total_cost6 = 350 + 600 + 250 = 1150; x02 = 1,x11 = 1,x22 = 1;
对于任务数和人员数较少时,可利用穷举法计算结果。
若将N任务分配给N个人员,其包含的所有分配情况数目为N!,N增大时,穷举法将难以完成任务。
三、匈牙利算法
下面简要介绍匈牙利算法。
其基本的理论基础是针对cost矩阵,将cost矩阵的一行或一列数据加上或减去一个数,其最优任务分配求解问题不变。
算法的基本步骤如下:
四、实例分析---匈牙利算法
下面结合具体实例,分析匈牙利算法如何解决任务分配问题。
以N = 4为实例,下图为cost列表和cost矩阵。
Step1.从第1行减去75,第2行减去35,第3行减去90,第4行减去45。
Step2.从第1列减去0,第2列减去0,第3列减去0,第4列减去5。
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3,少于4,进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是5,没有被覆盖的每行减去最小值5,被覆盖的每列加上最小值5,然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是3,少于4,进入Step5。
Step5.没有被覆盖的最小值是20,没有被覆盖的每行减去最小值20,被覆盖的每列加上最小值20,然后跳转到步骤3.
Step3.利用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0。
Step4.由于水平线和垂直线的总数是4,算法结束,分配结果如下图所示。
其中,黄色框表示分配结果,左边矩阵的最优分配等价于左边矩阵的最优分配。
注意:若分配问题中需要配对两个集合大小不同,则小的一个可以利用伪成员进行扩张,这些伪成员可以分配给另外一个集合里的所有成员,且相应的费用为零。
二次分配模型
我们在上面一般分配问题的约束下,最小化或者最大化如下形式的二次目标函数:
其中是将i分配给j且k分配给l的收益或者成本
注意到,目标函数的每一项包含两个分配决策:,也就是只有才会有的成本。
这种模型的应用,主要是在购物商场的店铺装修布局。
注意:计算二次分配模型的全局最优点是很困难的,这是因为目标函数变成了非线性,此时不再是整数规划问题了,解这类问题通常采用启发式算法。
广义分配模型
我们之前的分配问题约束是每个i必须被分配到一个j中,反之亦然。现在假设每一个i必须被分配给一些事物j,每一个事物j可以与多个i配对。具体来说,定义如下变量:
bj 表示j的容量
si,j表示如果i被分配j,那么j需要消耗的容量、空间、或者类似的量
ci,j表示i分配给j的成本或者收益
此时,用来找到在不超过容量限制的情况下最佳分配所有事物i的方案的模型,就是广义分配模型,形式如下:
广义分配模型,还是属于整数规划问题,在规模适中时可以用整数规划求解方式求解。
匹配模型
最后一种分配模型是消除集合之间的区别,即寻找同一类事物之间的最佳配对,此时,我们把一般分配模型中的j换成i',同时,约束条件变为:
一般来说,令i‘ > i的目的在于消去重复计数。
其应用如扬声器匹配模型,同一批扬声器由于生产工艺的差别,搭配成一个立体声系统时,两个扬声器之间存在干扰失真,建模的意义在于,如何搭配两个扬声器,使得整体的干扰失真最小。