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我感觉中国剩余定理我并不能顺推出来,这是一个很巧妙的构造,这个构造思想值得学习,但是扩展的可以顺推。
问题:
有一
,满足:
…
求 的通解形式。
设
则
这个怎么理解?
对一个确定的 ,我们让它 一下 ,肯定等于1, ,肯定为0,类似于拉格朗日插值。
扩展中国剩余定理比中国剩余定理应用广的多,也很好写。
问题为:
不一定互质,求是否有解?有解的话,通解形式是什么?
设 ,根据扩展欧几里得那一套, 才会有解。
对整个式子 , 就没有了。
#include<cstdio>
#define pp printf
#define ll long long
#define fo(i, x, y) for(int i = x; i <= y; i ++)
using namespace std;
const int N = 1e5 + 5;
int n;
ll m1, m2, c1, c2;
ll mul(ll x, ll y, ll mo) {
x %= mo; y %= mo;
ll z = (long double) x * y / mo;
z = x * y - z * mo;
if(z < 0) z += mo; else
if(z > mo) z -= mo;
return z;
}
ll gcd(ll x, ll y) {
return !y ? x : gcd(y, x % y);
}
void eg(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if(!b) {x = a, y = 0; return;}
eg(b, a % b, y, x); y = y - (a / b) * x;
}
ll inv(ll v, ll p) {
ll x, y;
eg(v, -p, x, y);
x = (x % p + p) % p;
return x;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
c1 = 0, m1 = 1;
fo(i, 1, n) {
scanf("%lld %lld", &m2, &c2);
ll t = gcd(m1, m2); ll m3 = m2 / t, M = m3 * m1;
c1 = (mul(mul(inv(m1 / t, m3), (c2 - c1) / t, m3), m1, M) + c1) % M;
m1 = M; if(c1 < 0) c1 += m1;
}
pp("%lld\n", c1);
}