线性代数中经常看到这两个词,矩阵是奇异的singular,非奇异的nonsingular,矩阵是正定的positive definite,半正定的positivesemi-definite。
一段时间不看后,再看到这两个词我又是一脸懵。今天把他们记下来,不要再忘了。
singular奇异
先不记录他们的定义,先从最根本的 说起。
给一个 的矩阵 ,看跟 相关的四个子空间。(对这个图不了解的去看看Gibert Strang的Introduction to Linear Algebra,强推!)
如果
可逆,
,也就是对
空间中的任何一个向量
都可以找到一个
空间中的一个对应的向量。看上面的图
和
是一一对应的,但如果从
中取,
中就没有对应的值。所以
可逆,就要
;如果
取
,那
对应就是
空间中的所有值,
,所以要
空间只有
,也就是
。也就是下图这样:
A is singular,unsingular都是针对方阵的
A is unsingular if A is full rank 非奇异 满秩
正定
正定不正定就要从特征值eigenvalue,特征向量eigenvector说起了。
特征值是这样求的
,这是一个关于
的
次方程。他一定有n个解,但不一定全是实数,可能里面有复数。
好,这里有一个特殊的情况,那就是对称矩阵
,他有n个实数解,他可以表示为
。
这里又有一个特殊情况,
,所有的特征值都是正数
,这就是正定矩阵;
,所有的特征值都是非负数
,这就是半正定矩阵。