牛客2019寒假训练营第一场 Problem D （扩展欧拉定理降幂，求单个欧拉函数板子）

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/317/D
来源：牛客网

小a与黄金街道

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K
64bit IO Format: %lld

题目描述

小a和小b来到了一条布满了黄金的街道上。它们想要带几块黄金回去，然而这里的城管担心他们拿走的太多，于是要求小a和小b通过做一个游戏来决定最后得到的黄金的数量。
游戏规则是这样的：
假设道路长度为nn米(左端点为00，右端点为nn)，同时给出一个数kk(下面会提到kk的用法)
设小a初始时的黄金数量为AA，小b初始时的黄金数量为BB
小a从11出发走向n−1n−1，小b从n−1n−1出发走向11，两人的速度均为1m/s1m/s
假设某一时刻(必须为整数)小a的位置为xx，小b的位置为yy，若gcd(n,x)=1gcd(n,x)=1且gcd(n,y)=1gcd(n,y)=1，那么小a的黄金数量AA会变为A∗kx(kg)A∗kx(kg)，小b的黄金数量BB会变为B∗ky(kg)B∗ky(kg)
当小a到达n−1n−1时游戏结束
小a想知道在游戏结束时A+BA+B的值
答案对109+7109+7取模

输入描述:

一行四个整数n,k,A,Bn,k,A,B

输出描述:

输出一个整数表示答案

示例1

输入

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4 2 1 1

输出

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说明

初始时A=1,B=1A=1,B=1

第一个时刻如图所示，小a在11，小b在33，满足条件，此时A=1∗21=2,B=1∗23=8A=1∗21=2,B=1∗23=8

第二个时刻小a在22，小b在22，不满足条件

第三个时刻小a在33，小b在11，满足条件，此时A=2∗23=16,B=8∗21=16A=2∗23=16,B=8∗21=16

此时游戏结束A=2∗23=16,B=8∗21=16A=2∗23=16,B=8∗21=16

A+B=32A+B=32

示例2

输入

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5 1 1 1

输出

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备注:

保证3⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽10133⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽1013

题意：给定n，k，a，b。求a*k^（<n的与n互质的数的和）+b*k^（<n的与n互质的数的和），然后（mod10e9+7）。

小于n的与n互质的数的和可以欧拉函数求解，但是如果n的范围过大，比如到达10^13次方级，最终结果会爆精度。所以可以用扩展欧拉定理降幂。1000000007是质数，所以只用下面的第一种情况就行了。

AC代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000000000+7;//注意10e9+7的特殊性
LL euler(LL n)//求单个欧拉函数板子
{
    LL res=n,a=n;
    for(LL i=2;i*i<=a;++i)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res=res/i*(i-1);
            while(a%i==0)a/=i;
        }
    }
    if(a>1)res=res/a*(a-1);
    return res;
}
LL power(LL x,LL y)//快速幂
{
    LL sq=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)sq=(sq*x)%mod;
        y>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return sq;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL ex_euler(LL a,LL b,LL p)//扩展欧拉定理降幂
{
    LL gg=gcd(a,p);
    LL fp=euler(p);
    if(gg==1)return b%fp;
    else if(b<fp)return b;
    else return b%fp+fp;
}
int main()
{
    LL n,k,a,b;
    while(cin>>n>>k>>a>>b)
    {
        LL sum=euler(n)/2*n;//通过欧拉函数值求与n互质数的和
        LL ans=(a*power(k,ex_euler(k,sum,mod))%mod+b*power(k,ex_euler(k,sum,mod))%mod)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

The end；