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来源:牛客网
小a与黄金街道
时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒
空间限制:C/C++ 32768K,其他语言65536K
64bit IO Format: %lld
题目描述
小a和小b来到了一条布满了黄金的街道上。它们想要带几块黄金回去,然而这里的城管担心他们拿走的太多,于是要求小a和小b通过做一个游戏来决定最后得到的黄金的数量。
游戏规则是这样的:
假设道路长度为nn米(左端点为00,右端点为nn),同时给出一个数kk(下面会提到kk的用法)
设小a初始时的黄金数量为AA,小b初始时的黄金数量为BB
小a从11出发走向n−1n−1,小b从n−1n−1出发走向11,两人的速度均为1m/s1m/s
假设某一时刻(必须为整数)小a的位置为xx,小b的位置为yy,若gcd(n,x)=1gcd(n,x)=1且gcd(n,y)=1gcd(n,y)=1,那么小a的黄金数量AA会变为A∗kx(kg)A∗kx(kg),小b的黄金数量BB会变为B∗ky(kg)B∗ky(kg)
当小a到达n−1n−1时游戏结束
小a想知道在游戏结束时A+BA+B的值
答案对109+7109+7取模
输入描述:
一行四个整数n,k,A,Bn,k,A,B
输出描述:
输出一个整数表示答案
示例1
输入
4 2 1 1
输出
32
说明
初始时A=1,B=1A=1,B=1
第一个时刻如图所示,小a在11,小b在33,满足条件,此时A=1∗21=2,B=1∗23=8A=1∗21=2,B=1∗23=8
第二个时刻小a在22,小b在22,不满足条件
第三个时刻小a在33,小b在11,满足条件,此时A=2∗23=16,B=8∗21=16A=2∗23=16,B=8∗21=16
此时游戏结束A=2∗23=16,B=8∗21=16A=2∗23=16,B=8∗21=16
A+B=32A+B=32
示例2
输入
5 1 1 1
输出
2
备注:
保证3⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽10133⩽n⩽108,1⩽A,B,k⩽1013
题意:给定n,k,a,b。求a*k^(<n的与n互质的数的和)+b*k^(<n的与n互质的数的和),然后(mod10e9+7)。
小于n的与n互质的数的和可以欧拉函数求解,但是如果n的范围过大,比如到达10^13次方级,最终结果会爆精度。所以可以用扩展欧拉定理降幂。1000000007是质数,所以只用下面的第一种情况就行了。
AC代码:
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1000000000+7;//注意10e9+7的特殊性
LL euler(LL n)//求单个欧拉函数板子
{
LL res=n,a=n;
for(LL i=2;i*i<=a;++i)
{
if(a%i==0)
{
res=res/i*(i-1);
while(a%i==0)a/=i;
}
}
if(a>1)res=res/a*(a-1);
return res;
}
LL power(LL x,LL y)//快速幂
{
LL sq=1;
while(y)
{
if(y&1)sq=(sq*x)%mod;
y>>=1;
x=x*x%mod;
}
return sq;
}
LL gcd(LL a,LL b)
{
return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
LL ex_euler(LL a,LL b,LL p)//扩展欧拉定理降幂
{
LL gg=gcd(a,p);
LL fp=euler(p);
if(gg==1)return b%fp;
else if(b<fp)return b;
else return b%fp+fp;
}
int main()
{
LL n,k,a,b;
while(cin>>n>>k>>a>>b)
{
LL sum=euler(n)/2*n;//通过欧拉函数值求与n互质数的和
LL ans=(a*power(k,ex_euler(k,sum,mod))%mod+b*power(k,ex_euler(k,sum,mod))%mod)%mod;
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
The end;