$本文主要来自博主高中时数竞相关积累与网上相关资料(更新中)$

欧拉函数

$欧拉函数:小于n的正整数中与n互质的数的数目,\varphi(1)=1$,通式： $\varphi(x)=x\displaystyle\prod^n_{i=1}\left(1-\frac{1}{p_i}\right)$
$x=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}为x的标准分解$

性质:

1. $若n是素数 , 有\varphi(n)=n−1$
2. $n>2,\varphi(n)是偶数$
3. $若a是素数且n不是a倍数 , 有\varphi(n∗a)=\varphi(n)*(a−1)$
4. $若a是素数且n\ mod\ a=0 , 有\varphi(n∗a)=\varphi(n)∗a$
5. $若gcd(n,m)=1 , 有\varphi(m∗n)=\varphi(m)∗\varphi(n)$
6. $若n是奇数 , 有\varphi(2∗n)=\varphi(n)$
7. $若n和m是素数 , 有\varphi(n∗m)=n∗m−1$
8. $若p是素数 , 有\varphi(p^q)=p^q−p^{q−1}$
9. $\displaystyle\sum_{d|m}\varphi(d)=m\quad d为m的所有正约数$

#include <cstring>
#define ll long long
const int MAX_N = 1e6 + 5;
ll phi[MAX_N];
bool isprime[MAX_N];
//欧拉筛法
void Euler()
{
	for(int i = 0; i < MAX_N; ++i) phi[i] = i;
	memset(isprime, true, sizeof(isprime));
	isprime[0] = isprime[1] = false;
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= MAX_N; ++i){
		if (isprime[i])
			for (int j = i; j <= MAX_N; j += i){
				isprime[j] = false;
				phi[j] -= phi[j] / i;
			}
	}
}

void Euler()
{
	for (int i = 1; i < MAX_N; ++i) phi[i] = i;
	for (int i = 2; i < MAX_N; ++i)
		if (phi[i] == i)
			for (int j = i; j < MAX_N; j+=i)
				phi[j] = (i - 1) * phi[j] / i;
}
//单个欧拉函数值
ll phi(ll n)
{  
	int ans = n;  
	for (int i = 2; i * i <= x; ++i) {
		if (x % i == 0) { 
			ans -= ans / i; 
			while (x % i == 0) x /= i; 
		} 
	}
	if (x > 1) ans -= ans / x; 
	return ans;  
} 

著名数论定理

欧拉定理

$设gcd(a,m)=1,则a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\ m)$

费马小定理

$设p是素数,p\nmid a,则a^{p-1}\equiv1(mod\ p)$

威尔逊定理

$设p是素数,则\left(p-1\right)!\equiv-1(mod\ p)$

中国剩余定理

$对于两两互质的m_i,同余方程组\begin{cases} x\equiv r_1\quad(mod\ m_1)\\ x\equiv r_2\quad(mod\ m_2)\\ \vdots\\ x\equiv r_n\quad(mod\ m_n) \end{cases}的解为\\ x\equiv\sum_{i=1}^nr_iM_iM_i^`,其中M=\prod_{i=1}^nm_i,M_i=\frac{M}{m_i},M_i^`=M_i^{-1}\ (mod\ m_i)$

同余

• $gcd(a,b)=gcd(a,b-a)=gcd(a,b\ mod\ a)$
• $a\cdot b=gcd(a,b)\cdot lcm(a,b)$
• $扩展欧几里得算法:$

素数

• $素数筛(粗略)$

#include <cstdio>  
#include <cstring>
#define ll long long
const int MAX_N = 1e5;//求MAX_N范围内的素数  
ll prime[MAX_N], cnt;  
bool isprime[MAX_N];

void sieve()  
{  
	cnt = 1;
	memset(isprime, true, sizeof(isprime));
	isprime[0] = isprime[1] = false;  
	for (ll i = 2;i <= MAX_N; ++i) {  
		if (isprime[i]) {
			prime[cnt++] = i;
			for (ll j = 2 * i; j <= MAX_N; j += i)
				isprime[j] = false;
		}
	}  
}

int main()  
{
	sieve();
	for (ll i = 1; i < cnt; ++i)
		printf("%15d", prime[i]);
	return 0;  
}

• $线性筛$

const int MAX_N = 1e5;
int prime[MAX_N], cnt;
bool check[MAX_N];

void sieve(){
	for (int i = 2;i <= MAX_N; ++i){
		if(!check[i]) prime[++cnt] = i;
		for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= MAX_N; ++j) {
			check[prime[j] * i] = true;
			if(i % prime[j] == 0) break; //重点
		}
	}
}

数论计数问题

• $约数:对n的标准分解式n=p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n},n的正约数个数为\displaystyle\prod_{i=1}^n(a_i+1)$
• $勒让德定理：在正数n!的素因子标准分解式中，素数p的最高指数为(n!)=\displaystyle\sum_{m=1}^\infty\left[\frac{n}{p^m}\right]$
  $根据勒让德定理计算C_n^k\ mod\ p$