一、归纳推理:
- 涉及数列类的归纳推理,常常考查二阶等差数列(\(\{a_{n+1}-a_n\}\)为等差数列)和斐波那契数列,
二、类比推理:
元素之间的类比结论:点\(\Rightarrow\)线,线\(\Rightarrow\)面,面\(\Rightarrow\)体,
几何体之间的类比结论:三角形\(\Rightarrow\)四面体,正三角形\(\Rightarrow\)正四面体,内切圆\(\Rightarrow\)内切球,
运算符号之间的类比结论:差\(\Rightarrow\)比,和\(\Rightarrow\)积,积\(\Rightarrow\)乘方,商\(\Rightarrow\)开方,
测度之间的类比结论:长度\(\Rightarrow\)面积,面积\(\Rightarrow\)体积,圆的半径\(\Rightarrow\)椭圆的焦半径,,内切圆(外接圆)面积\(\Rightarrow\)内切球(外接球)体积,
证明方法之间的类比结论:等面积法\(\Rightarrow\)等体积法,
对应数字之间的类比结论:\(2\Rightarrow 3\),\(3\Rightarrow 4\),
导数,球的体积的导数为球面积。
一维 二维 三维
- 涉及数列类的类比推理,常常考查等和数列。
三、演绎推理:
四、典例剖析:
观察下列等式:
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}=1-\cfrac{1}{2^2}\),
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}=1-\cfrac{1}{3\times 2^2}\),
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}=1-\cfrac{1}{4\times 2^3}\),
\(\cdots\),\(\cdots\),
由以上等式推测到一个一般性的结论为:?
\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}+\cdots+\cfrac{n+2}{n\times(n+1)}\times \cfrac{1}{2^n}=1-\cfrac{1}{(n+1)\times 2^n}\)。
观察以下式子:
\(1+\cfrac{1}{2^2}<\cfrac{3}{2}\);
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}<\cfrac{5}{3}\);
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}<\cfrac{7}{4}\);
\(\cdots\),\(\cdots\),
由以上等式推测到一个一般性的结论为:?
\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cdots+\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{2n-1}{n}(n\ge 2,n\in N^*)\);
在\(\triangle ABC\)中,不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}\ge \cfrac{9}{\pi}\)成立;
在凸四边形\(ABCD\)中,不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}\ge \cfrac{16}{2\pi}\)成立;
在凸五边形\(ABCDE\)中,不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}+\cfrac{1}{E}\ge \cfrac{25}{3\pi}\)成立;
\(\cdots\),\(\cdots\),以此类推,?
在凸\(n\)边形\(A_1A_2A_3\cdots A_n\)中,不等式\(\cfrac{1}{A_1}+\cfrac{1}{A_2}+\cfrac{1}{A_3}+\cdots+\cfrac{1}{A_n}\ge \cfrac{n^2}{(n-2)\pi}(n\ge 3,n\in N^*)\)成立;
某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为\(1,1,2,3,5\),则预计第10年树的分枝数为
分析:本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”,其构成规律为:\(a_1\),\(a_2\)已知,其他项由递推公式\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_n,n\in N^*\)得到,
故\(a_6=8\),\(a_7=13\),\(a_8=21\),\(a_9=34\),\(a_{10}=55\),\(a_{11}=89\),故选\(D\)。
蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有\(1\)个蜂巢,第二个图有\(7\)个蜂巢,第三个图有\(19\)个蜂巢,按此规律,第\(6\)幅图的蜂巢总数为【 】
法1:注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列,我们可以这样做:
\(1\stackrel{+6}{\longrightarrow}7\); \(7\stackrel{+2\times 6}{\longrightarrow}19\);\(19\stackrel{+3\times 6}{\longrightarrow}37\);\(37\stackrel{+4\times6}{\longrightarrow}61\);\(61\stackrel{+5\times6}{\longrightarrow}91\);\(91\stackrel{+6\times6}{\longrightarrow}127\);故选\(C\)。
法2:利用二阶等差数列和累加法求解;令蜂巢个数为\(f(n)\),则\(f(1)=1\),\(f(2)=7\),\(f(3)=19\),\(f(4)=37\),由于
\(f(2)-f(1)=7-1=1\times 6\);
\(f(3)-f(2)=19-7=2\times 6\);
\(f(4)-f(3)=37-19=3\times 6\);
\(f(5)-f(4)=61-37=4\times 6\);
$\cdots $,
\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)\);
因此,当\(n\ge 2\)时,由累加法可知,
\(f(n)-f(1)=6\times [1+2+3+\cdots+(n-1)]=3n(n-1)\);
故\(f(n)=3n^2-3n+1\);
当\(n=1\)时,\(f(1)=1=3\times1^2-3\times1+1\),符合上式,
故蜂巢个数为\(f(n)=3n^2-3n+1\),
故可以计算\(f(6)=91\),当然也可以得到\(f(10)=271\);
在平面内有\(n(n\in N*,n\ge 3)\)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这\(n\)条直线把平面分成\(f(n)\)个平面区域,求\(f(3)\),\(f(4)\),\(f(5)\)的值;并总结\(f(n)\)的表达式。
解析:由题意知,则\(f(1)=2\),\(f(2)=4\),\(f(3)=7\),\(f(4)=11\),\(f(5)=16\),
\(f(2)-f(1)=4-2=2\);
\(f(3)-f(2)=7-4=3\);
\(f(4)-f(3)=11-7=4\);
\(f(5)-f(4)=16-11=5\);
$\cdots $,
\(f(n)-f(n-1)=n\);
因此,当\(n\ge 2\)时,由累加法可知,
\(f(n)-f(1)=2+3+\cdots+n=\cfrac{(n+2)(n-1)}{2}\)
即\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)
当\(n=1\)时,\(f(1)=2\),也满足上式,故
\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)。
将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\),类比到空间会得到什么结论?
分析:平面内的直角三角形中,两条直角边的平方之和等于斜边的平方,
空间内的直三面角中,三个侧面的面积平方之和为斜底面的面积的平方,
即\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\),
平面内正三角形的内切圆的圆心、外接圆的圆心,是正三角形的内心;在正三角形的高线的靠近底边的三等分点处;
空间内正四面体的内切球的球心、外接球的球心,是正四面体的(类内心);在正四面体的高线的靠近底面的四等分点处;
注意:等面积法,等体积法;
数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(n\in N^*)\),\(a_2=2\),\(S_n\)试数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和,则\(S_{21}\)为【】
分析:由题目可知,数列\(\{a_n\}\)是等和数列,也是周期数列,由\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}\)得到数列的前\(21\)项如下:
\(-\cfrac{3}{2},2,-\cfrac{3}{2},2,-\cfrac{3}{2},2,\cdots,-\cfrac{3}{2}\),
则\(S_{21}=10\times (-\cfrac{3}{2}+2)-\cfrac{3}{2}=\cfrac{7}{2}\)。
小结:等和数列大多表现为摆动数列或常数列。
在一个数列\(\{a_n\}\)中,如果\(\forall n\in N^*\),都有\(a_na_{n+1}a_{n+2}=k(k\)为常数,那么这个数列叫做等积数列,\(k\)叫其公积,已知数列\(\{a_n\}\)是等积数列,且\(a_1=1\),\(a_2=2\),公积为\(8\),则\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{12}=\)_____________。
分析:由等积数列的定义和已知条件,可以计算得到数列的各项如下,数列为周期数列,周期为\(3\),一个周期内的三项分别为\(1,2,4\);
\(-1,2,4,-1,2,4,-1,2,4,\cdots,-1,2,4,\),
故\(S_{12}=(1+2+4)\times 4=28\)。
- (1)圆内接正方形的中心就是圆心,正方形的对角线的长度就是圆的直径;球内接正方体的中心就是球心,正方体的体对角线的长度就是球的直径。
- (2)正方形的棱长设为\(2a\),则正方形的内切圆半径为\(a\),正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\),三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{2}\);
正方体的棱长设为\(2a\),则正方体的内切球半径为\(a\),正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\),三者的关系之比为\(2:1:\sqrt{3}\);
- (3)正三角形的棱长设为\(2a\),则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\),正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\),三者的关系之比为\(2\sqrt{3}:1:2\);
正四面体的棱长设为\(2a\),则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\),正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\),三者的关系之比为\(2\sqrt{6}:1:3\);
已知\(x\in (0,+\infty)\),观察下列各式:(注意,我们有意将其竖行书写)
\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\);
\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\);
\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\);
\(\cdots\),类比得到
\(x+\cfrac{a}{x^n}\ge n+1\),则\(a\)=__________。
分析:第一个式子是\(n=1\)的情形,此时\(a=1^1=1\);
第二个式子是\(n=2\)的情形,此时\(a=2^2=4\);
第三式子是\(n=3\)的情形,此时\(a=3^3=27\);
归纳可知, \(a=n^n\);
延伸阅读:上述表达式其实是均值不等式的拓展情形,
二元均值不等式:\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\times \cfrac{1}{x}}=2\);
三元均值不等式:\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{\cfrac{x}{2}\times\cfrac{x}{2}\times\cfrac{4}{x^2}}=3\);
四元均值不等式:\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\sqrt[4]{\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{27}{x^3}}=4\);
半径为\(r\)的圆的面积\(S=\pi r^2\),周长\(C=2\pi r\),若将\(r\)看作\((0,+\infty)\)上的变量,则\((\pi r^2)′=2\pi r\),即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数;
对于半径为\(R\)的球,若将\(R\)看作\((0,+\infty)\)上的变量,类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).
分析:半径为\(R\)的球体积\(V= \cfrac{4}{3}\pi R^3\),表面积\(S=4\pi R^2\),显然$ (\cfrac{4}{3}\pi R^3)′=4\pi R^2$,
即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。