Logistic Regression也叫Logit Regression，在机器学习中属于参数估计的模型。逻辑回归与普通线性回归（Linear Regression）有很大的关系。在应用上，它们有所区别：

• 普通线性回归主要用于连续变量的预测，即，线性回归的输出$y$的取值范围是整个实数区间（$y \in R$）
• 逻辑回归用于离散变量的分类，即，它的输出$y$的取值范围是一个离散的集合，主要用于类的判别，而且其输出值$y$表示属于某一类的概率

一个单独的逻辑回归函数只能判别两个类，这里用0和1表示. 逻辑回归的结果会给出一个概率$p$，表示属于类别1的概率。既然是两类问题，那么属于类别0的概率自然就是$1-p$。有没有发现一点二项分布（Binomial Distribution）的影子？

逻辑回归应用广泛，而且因为给出的结果是一个概率，比单纯的“是”或“不是”包含更多的信息，因此大受人们喜爱（误）。我们之前参加Kaggle广告点击率预测竞赛时使用的就是逻辑回归。因为用户要么点了广告，要么没点，我们给出一个概率，就可以判断用户的点击广告的可能性。这个预测看起来很简单，的确是，模型很简单的，难的地方在于features的分析，选取，综合等，也就是常说的pre-processing。

文章内容

很多文章介绍逻辑回归时会直接给出一个叫sigmoid的函数，该函数的值域范围是$(0,1)$，刚好是概率的取值范围（也不完全是，因为是开区间）。本文会再稍微往前一点点，从引入sigmoid函数之前介绍一下Logistic Regression。文章只做简单介绍（真的很简单），不涉及参数估计的内容。

Odds与Logit函数

逻辑回归的输入是一个线性组合，与线性回归一样，但输出变成了概率。而且逻辑回归用于预测两类问题，类似一个伯努利试验。假设在一个伯努利试验中，成功的概率是$p$，失败的概率是$1-p$，我们设逻辑回归的输出是成功的概率$p$，那么需要一个函数将逻辑回归的输入（一个线性组合）与$p$联系起来。下面介绍这个函数，它的名字叫Logit.

我们定义：

$$Odds = \frac{p}{1-p} \tag1$$
上式很直观，表示成功的概率是失败概率的多少倍，中文叫做 发生比。

对Odds取自然对数：

$$\ln(Odds) = \ln(\frac{p}{1-p}) = \ln(p) - \ln(1-p) \tag2$$
上式即为logit函数的定义，参数为 $p$，记为：
$$logit(p) = \ln(Odds) \tag3$$
$logit(p)$的图像如下所示，可以看到它的定义域是 $[0,1]$，值域是 $R$。

但我们要的是定义域是$R$，值域是$[0,1]$。于是我们求(3)式的反函数，并将参数$p$用另一个参数$\alpha$表示，有：

$$logit^{-1}(\alpha) = \frac{1}{1+e^{-\alpha}} = \frac{e^\alpha}{1+e^\alpha} \tag4$$
上式中 $\alpha$可以取全体实数，而该函数的值域变成了 $(0,1)$，这正是我们想要的效果。 $logit(p)$的反函数 $logit^{-1}(\alpha)$的名称就是我们常常听到的 sigmoid函数。

输入与输出

在(4)式中，输入的参数$\alpha$可以是任何数，也可以将其作为一个线性组合输入。例如，另

$$\alpha = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2$$
则(4)式的sigmoid函数可以写成：
$$sigmoid(\alpha) = logit^{-1}(\alpha) = \frac{e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}}{1+e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}} \tag5$$
上式就是逻辑回归的一般用法。注意到它的输入还是一个线性组合，跟线性回归的输入是一样的，只不过计算的时候比线性回归多了一层函数，因此这就是为什么会有文章说 逻辑回归的本质还是线性回归，也会看到有一些文章说 在特征到结果的映射中多加了一层函数映射，这个函数映射就是sigmoid。

(5)式是计算概率$p$的表达式，这个表达式也可以从$logit$函数来推导。因为$logit(p)$与一个线性组合是等价的（也再一次说明逻辑回归的本质还是线性回归）。

令$logit$函数等于一个线性组合（这是可以的，因为$logit$函数的定义域和值域与一个线性组合的定义域和值域是一样的），即：

$$logit(p) = \ln(\frac{p}{1-p}) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2$$
对上式两边取自然底数，有：
$$\frac{p}{1-p} = e^{ \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}$$
$$\Rightarrow p = \frac{e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}}{1+e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}}$$
通常会将上式写成 $$\hat{p} = \frac{e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}}{1+e^{\theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2}}$$
$\hat{p}$表示 $p$的估计值。

上式就是(5)式。这样求概率$p$便变成了参数估计问题：估计参数$\theta$，使得$\hat{p}$最接近$p$。

虽然逻辑回归通常用于两个类的判别问题，但是将多个逻辑回归函数组合起来就可以解决多类判别的问题。

Refrence

Youtube上有一个关于Logistic Regression的视频的入门级系列介绍，本文就是根据这个系列的介绍写的。想对Logistic Regression有快速的了解可以参考这个系列视频（可惜要翻墙，QQ）
https://www.youtube.com/watch?v=zAULhNrnuL4