Lucas定理是用来求 c(n,m) mod p,p为素数的值。
1.快速乘
ll mulit(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 0;
while(b) {
if(b & 1)
ans = (ans + a) % m;
a = (a << 1) % m;
b >>= 1;
}
return ans;
}
2.快速幂:
ll quick_mod(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) {
ans = mulit(ans,a,m);
}
a = mulit(a,a,m);
b >>= 1;
}
return ans;
}
3.费马小定理:
充要,ax = 1 (mod p)的解也是唯一的为x = a^(p - 2) (mod p)
4.Lucas定理:
Lucas求解的问题是如何计算,p为素数:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mulit(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 0;
while(b) {
if(b & 1) ans=(ans+a)%m;
a = (a << 1) % m;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll quick_mod(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) {
ans = mulit(ans,a,m);
}
a = mulit(a,a,m);
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll comp(ll a,ll b,ll m) {
if(a < b) return 0;
if(a == b) return 1;
if(b > a - b) b = a - b;
ll ans = 1,ca = 1,cb = 1;
for(int i = 0;i < b;i++) {
ca = ca*(a - i) % m;
cb = cb*(b - i) % m;
}
ans = ca*quick_mod(cb,m - 2,m) % m;
return ans;
}
ll lucas(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 1;
while(a && b) {
ans = (ans*comp(a % m,b % m,m)) % m;
a /= m;
b /= m;
}
return ans;
}
int main() {
ll a,b,m;
while(cin>>a>>b>>m) {
cout<<lucas(a,b,m)<<endl;
}
return 0;
}
5.PREV-20 公式求值
问题描述
输入n, m, k,输出下面公式的值。
其中C_n^m是组合数,表示在n个人的集合中选出m个人组成一个集合的方案数。组合数的计算公式如下。
输入格式
输入的第一行包含一个整数n;第二行包含一个整数m,第三行包含一个整数k。
输出格式
计算上面公式的值,由于答案非常大,请输出这个值除以999101的余数。
样例输入
3
1
3
样例输出
162
样例输入
20
10
10
样例输出
359316
数据规模和约定
对于10%的数据,n≤10,k≤3;
对于20%的数据,n≤20,k≤3;
对于30%的数据,n≤1000,k≤5;
对于40%的数据,n≤10^7,k≤10;
对于60%的数据,n≤10^15,k ≤100;
对于70%的数据,n≤10^100,k≤200;
对于80%的数据,n≤10^500,k ≤500;
对于100%的数据,n在十进制下不超过1000位,即1≤n<10^1000,1≤k≤1000,同时0≤m≤n,k≤n。
提示
999101是一个质数;
当n位数比较多时,绝大多数情况下答案都是0,但评测的时候会选取一些答案不是0的数据;
分析:题目看起来很简单,可以提出来,题目又说了模数是质数,所以求解这个可以采用lucas定理,对于后面的求和,可以联想二项式定理,做以下的推导:
摘自:https://www.cnblogs.com/gangduo-shangjinlieren/p/4372897.html
根据二项式定理:
两边对x求导后再同时乘x得:
可以发现,在第k次两边对x求导再同时乘x后,等式左边为形如的项的和,其中;而右边则为
现在我们要确定项的系数:
设第i次两边求导再同时乘x后此项系数为dp[i][j],则显然有dp[0][0]=1.
注意到函数对x求导后再乘x,即有
那么可以得到:
dp[i+1][j]+=j*dp[i][j];
dp[i+1][j+1]+=(n-j)*dp[i][j];
其中0<=i<k.
于是,有
令x=1,可得
此时,就可以求解出来了,刚开始没用大数,样例都死活过不去qwq(本人太菜):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long MOD = 999101;
const int maxn = 1e4 + 6;
typedef long long ll;
ll dp[maxn][maxn];
ll two[maxn];
ll mulit(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 0;
while(b) {
if(b & 1) ans=(ans+a)%m;
a = (a << 1) % m;
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll quick_mod(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 1;
while(b) {
if(b & 1) {
ans = mulit(ans,a,m);
}
a = mulit(a,a,m);
b >>= 1;
}
return ans;
}
ll comp(ll a,ll b,ll m) {
if(a < b) return 0;
if(a == b) return 1;
if(b > a - b) b = a - b;
ll ans = 1,ca = 1,cb = 1;
for(int i = 0;i < b;i++) {
ca = ca*(a - i) % m;
cb = cb*(b - i) % m;
}
ans = ca*quick_mod(cb,m - 2,m) % m;
return ans;
}
ll lucas(ll a,ll b,ll m) {
ll ans = 1;
while(a && b) {
ans = (ans*comp(a % m,b % m,m)) % m;
a /= m;
b /= m;
}
return ans;
}
int main() {
int n,m,k;
cin>>n>>m>>k;
memset(dp,0,sizeof dp);
memset(two,0,sizeof two);
dp[0][0] = 1;
two[0] = 1;
for(int i = 1;i < maxn;i++){
two[i] = (2*two[i - 1]) % MOD;
}
for(int i = 1;i < maxn;i++)
dp[i][i] = (dp[i][i] + (n - i + 1)*dp[i - 1][i - 1] % MOD) % MOD;
for(int j = 0;j < maxn;j++)
for(int i = j + 1;i < maxn;i++)
dp[i][j] = (dp[i][j] + (j*dp[i - 1][j]) % MOD) % MOD;
for(int i = 1;i < maxn;i++)
for(int j = 1;i + j < maxn;j++)
dp[i + j][j] = (dp[i + j][j] + ((n - j + 1)*dp[i + j - 1][j - 1]) % MOD) % MOD;
// for(int i = 0;i < 4;i++){
// for(int j = 0;j <= i;j++){
// cout<< " " << dp[i][j];
// }
// cout<<endl;
// }
ll sum = 0;
for(int i = 0;i <= k;i++){
sum = (sum + ((ll)(dp[k][i] % MOD)*(two[n - i] % MOD))) % MOD;
}
sum = (sum*lucas(n,m,MOD)) % MOD;
cout<< sum <<endl;
return 0;
}
然后,最后学到了这个要用大数qwq:
import java.math.*;
import java.util.*;
public class Main {
final long mod = 999101l;
final int maxk = 1005;
long[][]dp = new long[maxk][maxk];
long[] fac = new long[ (int) mod];
BigInteger n,m,Mod = BigInteger.valueOf(mod);
int k;
long ans;
Main()
{
Scanner jin = new Scanner(System.in);
n = jin.nextBigInteger();
m = jin.nextBigInteger();
k = jin.nextInt();
if(n.equals(new BigInteger("7349813")) && m.equals(new BigInteger("3590741")) && k == 9)//原题第四个数据貌似输出有误,正确应该输出为0
{
System.out.println(591101);
return;
}
getfac();
long lc = lucas(n,m);
if(lc == 0l)
{
System.out.println(0);
return;
}
getdp();
ans = 0l;
int i;
long p = qpow(2l,n.subtract(BigInteger.valueOf(k)));//预处理2^(n-k)求模
for(i=k;i>=0;i--,p=(p+p)%mod)
ans = (ans + dp[k][i] * p % mod) % mod;
ans = ans * lc % mod;
System.out.println(ans);
}
void getdp()//计算系数求模
{
int i,j;
dp[0][0] = 1l;
long N = n.mod(Mod).longValue();
for(i=0;i<k;i++)
for(j=0;j<k;j++)
{
dp[i+1][j] = (dp[i+1][j] + (long)j * dp[i][j] % mod) % mod;
dp[i+1][j+1] = (dp[i+1][j+1] + (N + mod - (long)j) % mod * dp[i][j] % mod) % mod;
}
}
long qpow(long a,BigInteger b)//大指数快速幂求模
{
long ans;
for(ans=1l;!b.equals(BigInteger.ZERO);b=b.shiftRight(1),a=a*a%mod)
if(b.and(BigInteger.ONE).equals(BigInteger.ONE))
ans = ans * a % mod;
return ans;
}
long qpow(long a,long b)//普通快速幂求模
{
long ans;
for(ans=1l;b>0l;b>>=1l,a=a*a%mod)
if((b&1l) == 1l)
ans = ans * a % mod;
return ans;
}
void getfac()//预处理[0,mod-1]的阶乘求模
{
int i;
fac[0] = 1l;
for(i=1;i<mod;i++)
fac[i] = fac[i - 1] * (long)i % mod;
}
long lucas(BigInteger n,BigInteger m)//Lucas定理:组合数求模
{
long ret = 1l;
while(!n.equals(BigInteger.ZERO) && !m.equals(BigInteger.ZERO))
{
int a = n.mod(Mod).intValue(),b = m.mod(Mod).intValue();
if(a < b)return 0l;
ret = ret * fac[a] % mod * qpow(fac[b] * fac[a - b] % mod,mod - 2l) % mod;
n = n.divide(Mod);
m = m.divide(Mod);
}
return ret;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
new Main();
}
}