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树状数组的问题模型
首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的,现在有一个这样的问题:有一个数组a,下标从0到n-1,现在给你w次修改,q次查询,修改的话是修改数组中某一个元素的值;查询的话是查询数组中任意一个区间的和,w + q < 500000。
这个问题很常见,首先分析下朴素做法的时间复杂度,修改是O(1)O(1)的时间复杂度,而查询的话是O(n)O(n)的复杂度,总体时间复杂度为O(qn)O(qn);可能你会想到前缀和来优化这个查询,我们也来分析下,查询的话是O(1)O(1)的复杂度,而修改的时候修改一个点,那么在之后的所有前缀和都要更新,所以修改的时间复杂度是O(n)O(n),总体时间复杂度还是O(qn)O(qn)。
可以发现,两种做法中,要么查询是O(1)O(1),修改是O(n)O(n);要么修改是O(1)O(1),查询是O(n)O(n)。那么就有没有一种做法可以综合一下这两种朴素做法,然后整体时间复杂度可以降一个数量级呢?有的,对,就是树状数组。
[树状数组的模板]:
int n ;
int c[MAX] ; // 树状数组
int a[MAX] ; // 原数组
int lowbit(int x ) { return x&(-x);}
int update(int i,int v){ // 单点更新
while(i<=n){
c[i]+=v;
i+=lowbit(i);// 由叶子节点向上更新树状数组 , 从左到右
}
}
int sum(int i){
int ans = 0 ;
while(i>0){
ans+=c[i];// 从右到左累加求和
i-=lowbit(i) ;
}
return ans ;
}
模板中最常见的三个函数:①取数组下标二进制非0最低位所表示的值;②单点更新;③区间查询。树状数组,顾名思义是树状的数组,我们首先引入二叉树,叶子节点代表A[1]~A[8]。
现在变形一下:
现在定义每一列的顶端节点C数组(其实C数组就是树状数组),如图:
C[i]代表子树的叶子节点的权值之和,如图可以知道:
C[1]=A[1];
C[2]=A[1]+A[2];
C[3]=A[3];
C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
C[5]=A[5];
C[6]=A[5]+A[6];
C[7]=A[7];
C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
将C数组的下标i转化成二进制:
1=(001) C[1]=A[1];
2=(010) C[2]=A[1]+A[2];
3=(011) C[3]=A[3];
4=(100) C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];
5=(101) C[5]=A[5];
6=(110) C[6]=A[5]+A[6];
7=(111) C[7]=A[7];
8=(1000) C[8]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];
对照式子可以发现:C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......+A[i];(k为i的二进制中从最低位到最高位连续零的个数)
例如:当i=8时,k=3,可以自行代入验证。现在引入lowbit(x):其实就是取出x的二进制的最低位1,换言之,lowbit(x)= 2^k,k的含义与上面相同。
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
/*
-i 代表i的负数 计算机中负数使用对应的正数的补码来表示
例如 : i=6(0110) 此时 k=1
-i=-6=(1001+1)=(1010)
i&(-i)=(0010)=2=2^1
C[i]=A[i-2^k+1]+A[i-2^k+2]+......A[i];
C[i]=A[i-lowbit(i)+1]+A[i-lowbit(i)+2]+......A[i];
*/
接下来是区间查询(求和):利用C[i]数组,求A数组中前i项和:举两个栗子:
①i=7,前7项和:sum[7]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7];
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[6]=A[5]+A[6];C[7]=A[7];可以得到:sum[7]=C[4]+C[6]+C[7]。
数组下标写成二进制:sum[(111)]=C[(100)]+C[(110)]+C[(111)];
②i=5,前5项和:sum[5]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5];
而C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];C[5]=A[5];可以得到:sum[5]=C[4]+C[5];
数组下标写成二进制:sum[(101)]=C[(100)]+C[(101)];
细细观察二进制,树状数组追其根本就是二进制的应用,结合代码演示一下代码过程:
int sum(int i){
int ans = 0 ;
while(i>0){
ans+=c[i];// 从右到左累加求和
i-=lowbit(i) ;
}
return ans ;
}
对于i=7进行演示:
7(111) ans+=C[7]
lowbit(7)=001 7-lowbit(7)=6(110) ans+=C[6]
lowbit(6)=010 6-lowbit(6)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break;
对于i=5进行演示:
5(101) ans+=C[5]
lowbit(5)=001 5-lowbit(5)=4(100) ans+=C[4]
lowbit(4)=100 4-lowbit(4)=0(000) break;
最后是单点更新:当我们修改A数组中某个值时,应当如何更新C数组呢?回想一下,区间查询的过程,再看一下上文中列出的过程。这里声明一下:单点更新实际上是不修改A数组的,而是修改树状数组C,向上更新区间长度为lowbit(i)所代表的节点的值。
int update(int i,int v){ // 单点更新
while(i<=n){
c[i]+=v;
i+=lowbit(i);// 由叶子节点向上更新树状数组 , 从左到右
}
}
如图:当在A[1]加上值val,即更新A[1]时,需要向上更新C[1],C[2],C[4],C[8],这个时候只需将这4个节点每个节点的值加上val即可。这里为了方便大家理解,人为添加了个A数组表示每个叶子节点的值,事实上A数组并不用修改,实际运用中也可不设置A数组,单点更新只需修改树状数组C即可。下标写成二进制:C[(001)],C[(010)],C[(100)],C[(1000)];
lowbit(1)=001 1+lowbit(1)=2(010) C[2]+=val;
lowbit(2)=010 2+lowbit(2)=4(100) C[4]+=val;
lowbit(4)=100 4+lowbit(4)=8(1000) C[8]+=val;
最后说一下树状数组的优缺点:①特点:代码短小,实现简单;容易扩展到高纬度的数据;
②缺点:只能用于求和,不能求最大/小值;不能动态插入;数据多时,空间压力大
模板题:
网址 : https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374
题目描述
如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作:
1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
输入输出格式
输入格式:
第一行包含两个整数N、M,分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数,其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3个整数,表示一个操作,具体如下:
操作1: 格式:1 x k 含义:将第x个数加上k
操作2: 格式:2 x y 含义:输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式:
输出包含若干行整数,即为所有操作2的结果。
输入输出样例
输入样例#1: 复制
5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4
输出样例#1: 复制
14
16
说明
时空限制:1000ms,128M
数据规模:
对于30%的数据:N<=8,M<=10
对于70%的数据:N<=10000,M<=10000
对于100%的数据:N<=500000,M<=500000
样例说明:
故输出结果14、16