信息:若Xi(i=1,2,...n)为分类类别,则信息值 (Xi) = .(X为某一特征)
熵:(随机变量的不确定性的度量)信息的数学期望。E =
经验熵:概率由数学估计得到。
# -*- coding: UTF-8 -*-
from math import log
def createDataSet():
dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'], #数据集
[0, 0, 0, 1, 'no'],
[0, 1, 0, 1, 'yes'],
[0, 1, 1, 0, 'yes'],
[0, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 1, 'no'],
[1, 1, 1, 1, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 2, 'yes'],
[2, 0, 0, 0, 'no']]
labels = ['年龄', '有工作', '有自己的房子', '信贷情况'] #分类属性
return dataSet, labels #返回数据集和分类属性
#函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntires = len(dataSet) #返回数据集的行数
labelCounts = {} #保存每个标签(Label)出现次数的字典
for featVec in dataSet: #对每组特征向量进行统计
currentLabel = featVec[-1] #提取标签(Label)信息
labelCounts[currentLabel] = labelCounts.get(currentLabel,0)+1 #Label计数,如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
shannonEnt = 0.0 #经验熵(香农熵)
for key in labelCounts: #计算香农熵
prob = float(labelCounts[key]) / numEntires #选择该标签(Label)的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) #利用公式计算
return shannonEnt #返回经验熵(香农熵)
if __name__ == '__main__':
dataSet, features = createDataSet()
print(dataSet)
print(calcShannonEnt(dataSet))
条件熵H(Y|X):表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵(conditional entropy) 定义为X给定条件下,Y的条件概率分布的熵(H(Y|Xi))对X的数学期望:
, 其中, i=1,2,3...n。
信息增益(互信息):相对于某个特征而言。决策树学习中的信息增益等价于训练数据集中类(标签)与特征的互信息。因此特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A),定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差,即 =
以代码中数据为例,A可以是年龄,则Ai可取青年(i=1),中年(i=2),老年(i=3)。H(D)即为标签类别(Yes/No)的熵,H(D|A1)即为青年样本对分类标签的熵,p1=青年样本数/样本总数。
# -*- coding: UTF-8 -*-
from math import log
"""
函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
"""
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntires = len(dataSet) #返回数据集的行数
labelCounts = {} #保存每个标签(Label)出现次数的字典
for featVec in dataSet: #对每组特征向量进行统计
currentLabel = featVec[-1] #提取标签(Label)信息
labelCounts[currentLabel] = labelCounts.get(currentLabel,0)+1 #Label计数,如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
shannonEnt = 0.0 #经验熵(香农熵)
for key in labelCounts: #计算香农熵
prob = float(labelCounts[key]) / numEntires #选择该标签(Label)的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) #利用公式计算
return shannonEnt #返回经验熵(香农熵)
"""
函数说明:创建测试数据集
"""
def createDataSet():
dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'], #数据集
[0, 0, 0, 1, 'no'],
[0, 1, 0, 1, 'yes'],
[0, 1, 1, 0, 'yes'],
[0, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 1, 'no'],
[1, 1, 1, 1, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 2, 'yes'],
[2, 0, 0, 0, 'no']]
labels = ['年龄', '有工作', '有自己的房子', '信贷情况'] #分类属性
return dataSet, labels #返回数据集和分类属性
"""
函数说明:按照给定特征划分数据集
Parameters:
dataSet - 待划分的数据集
index - 划分数据集的特征,代表第几个特征,如年龄。
value - 需要返回的特征的值,代表该特征下的某个分类,如年龄下的中年。
"""
def splitDataSet(dataSet, index, value):
retDataSet = [] #创建返回的数据集列表
for featVec in dataSet: #遍历数据集
if featVec[index] == value:
#将符合条件的添加到返回的数据集
retDataSet.append(featVec)
return retDataSet #返回划分后的数据集
"""
函数说明:选择最优特征
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
bestFeature - 信息增益最大的(最优)特征的索引值
"""
def chooseBestFeature(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 #特征数量
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) #计算数据集的香农熵
bestInfoGain = 0.0 #信息增益
bestFeature = -1 #最优特征的索引值
for i in range(numFeatures): #遍历所有特征
#获取dataSet的第i个所有特征
featList = [item[i] for item in dataSet]
uniqueVals = set(featList) #以列表创建set集合{},元素不可重复
newEntropy = 0.0 #经验条件熵
for value in uniqueVals: #计算信息增益
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value) #subDataSet划分后的子集
prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet)) #计算子集的概率
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet) #根据公式计算经验条件熵
infoGain = baseEntropy - newEntropy #信息增益
print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain)) #打印每个特征的信息增益
if (infoGain > bestInfoGain): #计算信息增益
bestInfoGain = infoGain #更新信息增益,找到最大的信息增益
bestFeature = i #记录信息增益最大的特征的索引值
return bestFeature #返回信息增益最大的特征的索引值
if __name__ == '__main__':
dataSet, features = createDataSet()
print("最优特征索引值:" + str(chooseBestFeature(dataSet)))
决策树算法实现步骤:
- 计算经验熵;
- 选择最优特征;
- 递归。
常用的有CART, C4.5。