矩阵的定义
将一些元素排列成若干行，每行放上相同数量的元素，就是一个矩阵。这里说的元素可以是数字，例如以下的矩阵：
\[A = \begin{bmatrix}9 & 13 & 5 \\1 & 11 & 7 \\3 & 9 & 2 \\6 & 0 & 7 \end{bmatrix}\]
排列成的形状是矩形，所以称为矩阵。在中国大陆，横向的元素组称为“行”，纵向称为“列”，而在台湾则相反，横向称为“列”，纵向称为“行”。矩阵一般用大写拉丁字母表示，需要具体写出其中元素时，一般用方括号或圆括号括起。以上的矩阵\(A\)是一个4行3列的矩阵。
行矢量与列矢量
行数是1或列数是1的矩阵又可分别称为行矢量和列矢量。这是因为一个矢量可以表示成行数或列数是1的矩阵形式。矩阵的任一行（列）都是一个行（列）矢量，例如矩阵\(A\)的第一行\({\begin{bmatrix}9&13&5\end{bmatrix}}\)就是一个行矢量。行（列）矢量可以看成一个矢量，因此可以称矩阵的两行（列）相等，或者某一行等于某一列，表示其对应的矢量相等。
标记
一个矩阵\(A\)从左上角数起的第i行第j列上的元素称为第\(i,j\)项，通常记为\(A_{i,j}\)、\(A_{ij}\)、\(a_{i,j}\)或\(A_{[i,j]}\)。在上述例子中\(A{[4,3]}=7\)。如果不知道矩阵\(A\)的具体元素，通常也会将它记成\(A =[a _{ij}]_{m\times n}\)或\({A} =[{a} _{i,j}]_{m\times n}\)。反之，如果\(A\)的元素可以写成只与其行数\(i\)和列数\(j\)有关的统一函数\(f\)，那么也可以用\({A} =[f(i,j)]_{m\times n}\)作为\(A\)的简写。例如\({B} = [ i+2j]_{2 \times 3}\)是矩阵的简写。要注意的是，一些计算机编程\(B= \begin{bmatrix}3 & 5 & 7 \\4 & 6 & 8 \end{bmatrix}\)语言中，会将第1行（列）称为第0行（列），从而对矩阵的写法产生影响，比如矩阵就\(B\)要改写成\(B=[i+2j+3]_{2 \times 3}\)。
矩阵的基本运算
矩阵加（减）法
在数学里，矩阵加法一般是指两个矩阵把其相对应元素加在一起的运算。
若\(A=[f_A(i,j)]_{m\times n},B=[f_B(i,j)]_{m\times n}\)，则\(A+B=[f_A(i,j)+f_B(i,j)]_{m\times n}\)。
- 前提条件：同型矩阵（否则即为未定义）
- 基本动作：元素对应相加（或相减）。
矩阵的直和
这是我在学习的时候无意间看到的，顺便一提。
矩阵的直和运算是这样定义的：
对于任意两个矩阵\(A,B\)，对于直和运算\(\bigotimes\)，都有
\[A\bigotimes B=\begin{bmatrix}A & 0\\0 & B\end{bmatrix}.\]
注意到这种运算可以给两个图的邻接矩阵取并集。
矩阵数乘
由于：\(n\times A=\begin{matrix}\underbrace{A+A+\cdots+A}\\n\end{matrix}\)，故矩阵数乘可以这样定义：
矩阵数乘是指矩阵与标量做乘法运算，运算规则为：矩阵每个元素与标量相乘得出结果为一个矩阵。
若\(A=[f(i,j)]_{m\times n}\)，则\(n\times A=[n\times f(i,j)]_{m\times n}\)。
矩阵乘法（矩阵乘矩阵）
既然矩阵可以乘数，但矩阵可以乘矩阵吗？
答案当然是可以的——那怎么乘呢？
一种极为简单的理解方法
另一中比较常规的理解方法
首先，我们来看一个问题：
矩阵到底是什么？
这个问题可能很多OIer都忽视了，但它确实是个问题。
上面我们已经提到过，矩阵和向量有关。
那我们就从向量说起。
那么，对于一个平面，我们作两个单位正交的向量\(\vec{x},\vec{y}\)。于是，对于平面上的任意一点，我们都可以用\(a\vec{x}+b\vec{y}(a,b\in \R)\)来表示。于是，\(a\vec{x}+b\vec{y}(a,b\in \R)\)就是\(\vec{x},\vec{y}\)所张成的线性空间，而此例中\(\vec{x},\vec{y}\)所张成的线性空间就是整个二维平面。
当然，上例中\(\vec{x},\vec{y}\)是正交、相等的的，不正交、不相等时，我们也可以看成是张成了一个二维平面。
当然，张成一维空间（量向量共线），甚至原点也是可能的。