前言
三角函数求最值的三种常见考向整理归纳,重点说明新考向的解法思路。
一、预备知识
三角变换,
二次型,配方法
解三角不等式
二、已有的考向
- 1、正弦型函数求最值
逆用二倍角的正弦公式,二倍角的余弦公式,辅助角公式,转化为正弦型函数;
解析:函数\(f(x)=2sinx\cdot cosx+2\sqrt{3}\cdot cos^2x-\sqrt{3}+1\)
\(=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1\)
若\(x\in [-\cfrac{\pi}{3},\cfrac{\pi}{4}]\),则可得
\(-\cfrac{2\pi}{3}\leq 2x\leq \cfrac{\pi}{2}\),则\(-\cfrac{\pi}{3}\leq 2x+\cfrac{\pi}{3}\leq \cfrac{5\pi}{6}\),
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=-\cfrac{\pi}{3}\),即\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时,\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{\pi}{3})=2\times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+1=-\sqrt{3}+1\);
故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{2}\),即\(x=\cfrac{\pi}{12}\)时,\(f(x)_{max}=f(\cfrac{\pi}{12})=2\times 1+1=3\);
- 2、二次型函数求最值
利用配方法转化为以\(sinx\)或\(cosx\)为元的二次型函数,
函数\(f(x)=sin^2x+\sqrt{3}cosx-\cfrac{3}{4}(x\in[0,\cfrac{\pi}{2}])\)的最大值为_______。
分析:由于\(x\in[0,\cfrac{\pi}{2}]\),则\(cosx\in [0,1]\),
令\(cosx=t\in [0,1]\),\(f(x)=1-cos^2x+\sqrt{3}cosx-\cfrac{3}{4}=1-t^2+\sqrt{3}t-\cfrac{3}{4}=-(t-\cfrac{\sqrt{3}}{2})^2+1=g(t)\),
故当\(t=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)时,\(g(t)_{max}=f(x)_{max}=1\)。
三、新考向--利用导数求最值
求\(f(x)=2sinx+sin2x\)的最小值。【最值和导数相结合的题型】
法1:\(f'(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos^2x-1)\)
\(=4cos^2x+2cosx-2=(2cosx+2)(2cosx-1)\)
\(=4(cosx+1)(cosx-\cfrac{1}{2})\)
注意到\(cosx+1\ge 0\)恒成立,故
令\(f'(x)>0\)得到,\(cosx>\cfrac{1}{2}\),令\(f'(x)<0\)得到,\(cosx<\cfrac{1}{2}\),
则\(x\in [2k\pi-\cfrac{5\pi}{3},2k\pi-\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)时,函数\(f(x)\)单调递减;
\(x\in [2k\pi-\cfrac{\pi}{3},2k\pi+\cfrac{\pi}{3}](k\in Z)\)时,函数\(f(x)\)单调递增;
故当\(x=2k\pi-\cfrac{\pi}{3}(k\in Z)\)时,\(f(x)_{min}=f(2k\pi-\cfrac{\pi}{3})=-\cfrac{3\sqrt{3}}{2}\)。
已知函数\(f(x)=cosx-\cfrac{1}{2}sin2x\),则\(f(x)\)的最大值为_______________。
解析:\(f'(x)=-sinx-\cfrac{1}{2}\cdot 2\cdot cos2x\)
\(=-sinx-cos2x\)
\(=-sinx-(1-2sin^2x)\)
\(=2sin^2x-sinx-1=(sinx-1)(2sinx+1)\),
由于\(-1\leq sinx\leq 1\),故\(sinx-1\leq 0\),
则令\(f'(x)>0\),即\((sinx-1)(2sinx+1)> 0\),即\(2sinx+1<0\),
即\(sinx<-\cfrac{1}{2}\),解得\(2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}(k\in Z)\),
令\(f'(x)<0\),即\((sinx-1)(2sinx+1)<0\),即\(2sinx+1>0\),
即\(sinx>-\cfrac{1}{2}\),解得\(2k\pi-\cfrac{7\pi}{6}<x<2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}(k\in Z)\),
即单调递减区间为\([2k\pi-\cfrac{7\pi}{6},2k\pi+\cfrac{7\pi}{6}](k\in Z)\),
单调递增区间为\([2k\pi+\cfrac{7\pi}{6},2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}](k\in Z)\),
故当\(x=2k\pi+\cfrac{11\pi}{6}\)时,\(f(x)\)取得最大值;
\(f(x)_{max}=cos(2k\pi+\cfrac{11\pi}{6})-\cfrac{1}{2}sin2(2k\pi+\cfrac{11\pi}{6})\)
\(=cos(2\pi-\cfrac{11\pi}{6})-\cfrac{1}{2}sin(4\pi-\cfrac{\pi}{3})\)
\(=\cfrac{\sqrt{3}}{2}+\cfrac{1}{2}\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2}=\cfrac{\sqrt{3}}{4}\)。