https://jzoj.net/senior/#main/show/5954

Problem

• $n$个节点的树，每次随机染黑一个叶子结点，可以重复染黑，求直径第一次变小的期望次数.

Data constraint

• $n\le 5*10^5$.

Solution

• 一道好题。

• 首先，我们要考虑的是染黑一个对直径可能有贡献的叶子的期望步数。可能有贡献值的是这个叶子至少在一条直径中。

• 譬如总共有 $n$个叶子结点，还有 $m$个点是在直径上且待染色的，设再染黑 $m$个点当中任意一个点的期望次数为 $f$，那么就有 $f=1 + \frac{n - m}{n}f$即要么直接染黑，期望次数就是 $1$，要么选择染黑其余 $n-m$个点，然后重新再来.

• 解决了这个问题后，我们继续观察题目性质。不难发现，一棵树上的所有直径必定经过同一点，而对于长度为奇数的直径，就是经过同一点，对于长度为偶数的直径，必定经过同一条边，这个点，或这条边都必定在一条直径的中间位置.

• 这样一来，对于长度为偶数的直径，我们就按必经边把树分成两个集合，我们需要做的操作就是对这两个集合进行染色，直到只剩下一个集合时，长度必然变小，而对于奇数也是一样，只不过分成的集合可以由很多个.

• 现在我们就成功的把问题转化为给你若干个集合，你要对这些集合染色，直至剩下一个集合，这很好做，直接枚举一个集合，并枚举剩下的大小，直接计算就可以。

• 譬如，最后剩下的集合为 $x$，集合大小为 $w_x$，枚举 $x$集合最后剩下的个数 $d$，总共的叶子结点个数为 $n$，总共在直径上的叶子结点个数为 $d_0$，则集合 $x$对答案的贡献可以写成

$\sum_{d=0}^{w_x-1}\binom{w_x}{d}(d_0-w_x)(d_0-w_x+d-1)!(\sum_{i=d_0-d+1}^{d_0}\frac{n}{i})\frac{(d-i)!}{d_0!}$

• 这是由于我们总共需要染 $d_0-w_x+d$个节点要染。为了保证不算重，我们保证最后一个染色的点不能是 $x$集合里的点。所以单独乘个 $(d_0-w_x)$出来。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define mem(a, b) memset(a, b, sizeof a)
#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)
#define G(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i --)
#define REP(i, a) for (int i = las[a]; i ; i = nex[i])

const int N = 1e6 + 10, Mo = 998244353;

using namespace std;

int fa[N], dep[N], calc[N], dis, CNT;
int tov[N], nex[N], las[N], w[N], jc[N], ny[N];
int n, x, y, rt, RT, Lx, k, cnt, tot, Ans;

void ins(int x, int y) {
	tov[++ tot] = y, nex[tot] = las[x], las[x] = tot;
}

void Dfs(int k) {
	if (dep[k] > Lx)
		Lx = dep[k], rt = k;
	REP(x, k) if (!dep[tov[x]])
		dep[tov[x]] = dep[k] + 1, Dfs(tov[x]);
}

void Go(int k) {
	if (dep[k] > Lx)
		Lx = dep[k], RT = k;
	REP(x, k) if (!dep[tov[x]])
		fa[tov[x]] = k, dep[tov[x]] = dep[k] + 1, Go(tov[x]);
}

void Doit(int k, int v) {
	CNT += nex[las[k]] == 0;
	if (dep[k] == dis + 1 >> 1)
		w[cnt] ++, tot ++;
	REP(x, k)
		if (!dep[tov[x]] && tov[x] != v)
			dep[tov[x]] = dep[k] + 1, Doit(tov[x], v);
}

int ksm(int x, int y) {
	int ans = 1;
	for (; y; y >>= 1, x = (1LL * x * x) % Mo)
		if (y & 1)
			ans = (1LL * ans * x) % Mo;
	return ans;
}

int C(int x, int y) {
	return 1LL * jc[x] * ny[y] % Mo * 1LL * ny[x - y] % Mo;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	F(i, 1, n - 1)
		scanf("%d%d", &x, &y), ins(x, y), ins(y, x);

	dep[1] = 1, Dfs(1), mem(dep, 0), dep[rt] = 1;
	Lx = 0, Go(rt), dis = dep[RT];
	F(i, 1, dis - 1 >> 1) RT = fa[RT];
	mem(dep, 0), tot = 0;
	if (~dis&1) {
		rt = RT, RT = fa[RT];
		++ cnt, dep[rt] = 1, Doit(rt, RT);
		++ cnt, dep[RT] = 1, Doit(RT, rt);
	}
	else
		REP(x, RT)
			++ cnt, dep[tov[x]] = 2, Doit(tov[x], RT), cnt -= w[cnt] == 0;
	jc[0] = ny[0] = 1;
	F(i, 1, n)
		jc[i] = 1LL * jc[i - 1] * i % Mo;
	ny[n] = ksm(jc[n], Mo - 2);
	G(i, n - 1, 1)
		ny[i] = 1LL * ny[i + 1] * (i + 1) % Mo;

	G(i, tot, 1)
		calc[i] = (calc[i + 1] + 1LL * CNT * ksm(i, Mo - 2) % Mo) % Mo;

	F(i, 1, cnt) F(j, 0, w[i] - 1)
		Ans = (Ans + 1LL * C(w[i], j) * jc[tot - w[i] + j - 1] % Mo * (tot - w[i]) % Mo * 1LL * calc[w[i] - j + 1] % Mo * 1LL * jc[w[i] - j] % Mo) % Mo;
	printf("%d", 1LL * Ans * ny[tot] % Mo);
}