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题目:
给出一个排列,随机选择K个区间,依次翻转这些区间,求翻转后逆序对的期望个数。
分析:
窝草。。。原来逆序对还能有算贡献的方法。
自己跟着题解推一遍之前,完全不觉得这样可做。。。
定义 表示在经过k次变化后, 的概率。
转移有点麻烦:
要分四种情况讨论:
1、
,这种情况需要把转移式列出来,然后发现是二次前缀和。
2、
,同上,只需要把转移式里的
改为
,
改为
3、
,这种情况不影响他们的位置,只需统计多少种可能的方案即可。
4、
,这种情况比较麻烦,需要定义一个
,然后可以发现转移式可以表示为
的二次前缀和。
具体看代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 510
#define MAXK 55
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[MAXN];
ll f[MAXN][MAXN][MAXK],s1[MAXN],s2[MAXN];
inline ll get_num(ll x){
return x*(x+1ll)/2ll;
}
ll fsp(ll x,int y){
ll res=1;
while(y){
if(y&1)
res=res*x%MOD;
x=x*x%MOD;
y>>=1;
}
return res;
}
int main(){
int n,k;
SF("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
SF("%d",&a[i]);
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=i+1;j<=n;j++)
f[i][j][0]=(a[i]>a[j]);
ll inv=fsp(get_num(n),MOD-2);
for(register int k1=1;k1<=k;k1++){
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=i+1;j<=n;j++)
f[i][j][k1]=f[i][j][k1-1]*(get_num(i-1)+get_num(n-j)+get_num(j-i-1))%MOD;
for(register int j=1;j<=n;j++){
for(register int i=1;i<j;i++){
s1[i]=s1[i-1]+f[i][j][k1-1];
if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
}
for(register int i=1;i<j;i++)
f[i][j][k1]+=(s2[j-1]-s2[j-i-1]-s2[i-1]);
}
for(register int i=1;i<=n;i++){
for(register int j=n;j>i;j--){
s1[n-j+1]=s1[n-j]+f[i][j][k1-1];
if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
s2[n-j+1]=s2[n-j]+s1[n-j+1];
if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
}
for(register int j=i+1;j<=n;j++)
f[i][j][k1]+=(s2[n-i]-s2[j-i-1]-s2[n-j]);
}
for(register int j_i=1;j_i<=n;j_i++){
for(register int i=1;i+j_i<=n;i++){
s1[i]=s1[i-1]+(MOD+1-f[i][i+j_i][k1-1]);
if(s1[i]>=MOD) s1[i]-=MOD;
s2[i]=s2[i-1]+s1[i];
if(s2[i]>=MOD) s2[i]-=MOD;
}
for(register int i=1;i+j_i<=n;i++)
f[i][i+j_i][k1]+=(s2[n-j_i]-s2[n-j_i-i]-s2[i-1]);
}
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=i+1;j<=n;j++){
f[i][j][k1]=(f[i][j][k1]%MOD)*inv%MOD;
if(f[i][j][k1]<MOD)
f[i][j][k1]+=MOD;
}
}
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
ans=(ans+f[i][j][k])%MOD;
ans=(ans+MOD)%MOD;
PF("%lld",ans);
}