最小割树是用来解决图中多对点的最小割的问题的。
比如说,一个图中多组点的最小割的询问。
首先关于最小割,就是删除边权和尽量小的边,让某两个点不连通。
通常使用最小割最大流定理来解决。
但是对于 级别的询问,我们并没有办法通过每次做一遍最小割来实现。
这时候就需要最小割树。
首先有一个定理,就是一个n个点的图上,两点之间只有n种本质不同的最小割。
因此一定存在一棵树,满足树上两点的最小割等于原图上两点的最小割。
我们把这样的树称之为“最小割树”。 --Ebola
qwq
并不会证明,但是感性理解还是比较好理解的。
那么我们应该怎么去求这个最小割树呢?
首先,我们任意选择两个点
,进行一次最小割,然后根据割,将原图分成两个部分,同时我们连边
,边权是最小割的值,然后我们分治的对剩下两个部分进行类似的操作。直到一个点的时候,就
。
需要注意的是,我们对于子部分进行最小割的时候,需要复原所有的边。
经过这样一个过程,不难发现,我们最后会连接 条,也就是正好构成一棵树。
这就是最小割树了。qwq但是其实我并不是很知道原因。
那两个点之间的最小割是什么呢?
这里给出引理。
引理:
证明:假设有
,那么cut(u,v)就不能把
割开,因为
依然相连。
所以,我们对于树上任意两点的最小割,就是他们树上路径的
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int maxn = 1510;
const int maxm = 1e5+1e2;
const int inf = 1e9;
//引理:对于任意x∈U,y∈V,有cut(x,y)≤cut(u,v)。
//如果存在大于,那么cut(u,v)就无法形成割
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm],val[maxm];
int cnt=1,n,m;
int x[maxm],y[maxm],w[maxm];
int s,t;
int h[maxn];
int a[maxn];
int b[maxn],c[maxn];
int tot;
int col[maxn];
void addedge(int x,int y,int w)
{
nxt[++cnt]=point[x];
to[cnt]=y;
val[cnt]=w;
point[x]=cnt;
}
void insert(int x,int y,int w)
{
addedge(x,y,w);
addedge(y,x,0);
}
void init()
{
cnt=1;
memset(point,0,sizeof(point));
}
queue<int> q;
bool bfs(int s)
{
memset(h,-1,sizeof(h));
h[s]=0;
q.push(s);
while (!q.empty())
{
int x = q.front();
q.pop();
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (h[p]==-1 && val[i]>0)
{
h[p]=h[x]+1;
q.push(p);
}
}
}
if (h[t]==-1) return false;
return true;
}
int dfs(int x,int low)
{
if (x==t || low==0) return low;
int totflow=0;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (h[p]==h[x]+1 && val[i]>0)
{
int tmp = dfs(p,min(low,val[i]));
val[i]-=tmp;
val[i^1]+=tmp;
low-=tmp;
totflow+=tmp;
if (low==0) return totflow;
}
}
if(low>0) h[x]=-1;
return totflow;
}
int dinic(int ss,int tt)
{
int ans=0;
s=ss;
t=tt;
init();
for (int i=1;i<=m;i++) insert(x[i],y[i],w[i]),insert(y[i],x[i],w[i]);
while (bfs(s))
ans=ans+dfs(s,inf);
return ans;
}
struct tree{
int point[maxn],nxt[maxm],to[maxm];
int val[maxm],cnt,f[maxn][21];
int g[maxn][21];
int deep[maxn];
void addedge(int x,int y,int w)
{
nxt[++cnt]=point[x];
to[cnt]=y;
val[cnt]=w;
point[x]=cnt;
}
void dfs(int x,int fa,int dep)
{
deep[x]=dep;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (p==fa) continue;
dfs(p,x,dep+1);
g[p][0]=val[i];
f[p][0]=x;
}
}
void init()
{
for (int j=1;j<=20;j++)
for (int i=1;i<=n;i++)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
for (int j=1;j<=20;j++)
for (int i=1;i<=n;i++)
g[i][j]=min(g[i][j-1],g[f[i][j-1]][j-1]);
}
int go_up(int x,int d)
{
for (int i=0;i<=20;i++)
if (d&(1<<i)) x=f[x][i];
return x;
}
int lca(int x,int y)
{
if (deep[x]>deep[y]) x = go_up(x,deep[x]-deep[y]);
else y = go_up(y,deep[y]-deep[x]);
if (x==y) return x;
for (int i=20;i>=0;i--)
{
if (f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];
y=f[y][i];
}
}
return f[x][0];
}
int getmin(int x,int d)
{
int mn = 1e9;
for (int i=0;i<=20;i++)
if(d&(1<<i)) mn=min(g[x][i],mn),x=f[x][i];
return mn;
}
};
tree f;
void find(int x,int wei)
{
col[x]=wei;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
{
int p = to[i];
if (col[p]!=wei && val[i]>0)
find(p,wei);
}
}
void build(int l,int r)
{ //cout<<l<<" "<<r<<endl;
if (l>=r) return;
int x = a[l],y = a[l+1];
int now = dinic(x,y);
// cout<<l<<" "<<r<<" "<<x<<" "<<y<<" "<<now<<" "<<endl;
f.addedge(x,y,now);
f.addedge(y,x,now);
++tot;
find(x,tot);
int num=l-1,num1=0,num2=0;
for (int i=l;i<=r;i++)
if (col[a[i]]==tot) b[++num1]=a[i];
else c[++num2]=a[i];
for (int i=1;i<=num1;i++) a[++num]=b[i];
for (int i=1;i<=num2;i++) a[++num]=c[i];
build(l,l+num1-1);
build(l+num1,r);
}
int main()
{
n=read(),m=read();
n++;
for (int i=1;i<=m;i++) x[i]=read()+1,y[i]=read()+1,w[i]=read();
for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
build(1,n);
memset(f.g,127/3,sizeof(f.g));
f.dfs(1,0,0);//cout<<1<<endl;
f.init();
int q=read();
for (int i=1;i<=q;i++)
{
int x=read()+1,y=read()+1;
int l = f.lca(x,y);
int ans = 1e9;
ans=min(ans,f.getmin(x,f.deep[x]-f.deep[l]));
ans=min(ans,f.getmin(y,f.deep[y]-f.deep[l]));
cout<<ans<<"\n";
}
return 0;
}