欧几里得算法（Euclidean algorithm）

$\qquad$欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数 $a$， $b$的最大公约数。

计算公式

$gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)$ $\qquad$其中 $a\ mod\ b$是 $a$除以 $b$的余数（取余运算），也可以写成 $a\%b$。

证明方法

$\qquad$对于任意正整数 $a$， $b$，都有
$a=kb+r \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (k,r\in N)$ $\qquad$所以有
$r=a\%b$ $\qquad$假设 $c$是 $a$和 $b$的最大公约数，即
$c=gcd(a,b)$ $\qquad$所以可得 $c|a$且 $c|b$（ $|$表示能整除），又因为 $r=a-kb$，得
$c|r$ $\qquad$又因为 $c|b$，可得
$c=gcd(b,r)$ $\qquad$即
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

代码实现

$\qquad$迭代方法：

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}

$\qquad$递归方法：

int gcd(int a,int b)
{
    while(b)
    {
        a = a%b;
        swap(a,b);
    }
    return a;
}

$\qquad$两种算法的本质是一样的。