【题目】

传送门

题目描述：

Longge 的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。

现在问题来了：给定一个整数 $n$，你需要求出 $\sum\limits_{i=1}^n\gcd(i,n)$。

输入格式：

一个整数，为 $n$。

输出格式：

一个整数，为所求的答案。

样例数据：

输入
6

输出
15

说明：

对于 $60\%$ 的数据， $0<n\le2^{16}$

对于 $100\%$ 的数据， $0<n\le2^{32}$

【分析】

我们要求出

$\sum_{i=1}^n\gcd(i,n)$

枚举 $\gcd$，将原式转化为

$\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^n[\;\gcd(i,n)=d\;]$

化成 $\gcd=1$ 的形式

$\sum_{d|n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[\;\gcd(i,\frac{n}{d})=1\;]$

一样的套路，发现后面是个欧拉函数，即

$\sum_{d|n}d\times \varphi(\frac{d}{n})$

所以我们就枚举 $n$ 的所有约数，按照上式计算就行。

由于 $n$ 过大，不能用线性筛算欧拉函数，我们就用一种 $O(\sqrt n)$ 的方法来计算。

补充一个小知识，即如何在 $O(\sqrt n)$ 的时间内计算 $\varphi(n)$。
$\varphi(n)$ 有另一种表达形式，即 $\varphi(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots(1-\frac{1}{p_k})$（ $p_i$ 是 $n$ 的质因子）。
因此我们把 $\varphi(n)$ 初值设为 $n$，然后枚举 $n$ 的质因子，按照上面的式子乘起来就行了。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long phi(long long x)
{
	long long i,ans=x;
	for(i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if(!(x%i))  ans=ans/i*(i-1);
		while(!(x%i))  x/=i;
	}
	if(x>1)  ans=ans/x*(x-1);
	return ans;
}
long long calc(long long x)
{
	long long i,ans=0;
	for(i=1;i*i<x;++i)
	  if(!(x%i))  ans+=i*phi(x/i)+(x/i)*phi(i);
	if(i*i==x)  ans+=i*phi(i);
	return ans;
}
int main()
{
	long long n;
	scanf("%lld",&n);
	printf("%lld",calc(n));
	return 0;
}