昨天写了一个用树状数组对一长串灯泡进行维护和查询的题解，
（ https://blog.csdn.net/weixin_42105529/article/details/81274894）因为树状数组能够大大降低时间复杂度，所以我们用到的还
是蛮多的，但是有小伙伴和我说他不会树状数组，所以今天我写这个博客的目的就是把树状数组说明白，当然如果没讲明白，
也可以告诉我。
首先,什么是树状数组，为了直观一点我们直接给大家上图
这是我在别人博客上看到的两张图，可以说是非常直观，其实树状数组归根结底还是一个数组，只不过我们可以
对数组元素进行人为的分级，其实我感觉这个也有一部分二分的想法在里面，如果一个数组元素的下标奇数那级数为零级，如果
能被二整除那我们就对它升一级然后把它前面的那个奇数加到他这里，这样它就表示这个一个小区域的和，如果能被四整除那就
再升一级然后把前面三个的值都加到它上面，最后我们就能得到一颗树。这就是我对树状数组的理解。
其次，树状数组能用来干什么，在什么情况下我们用树状数组， 平常我们会遇到一些对数组进行维护查询的操作
，比较常见的如，修改某点的值、求某个区间的和，而这两种恰恰是树状数组的强项！当然，数据规模不大的时候，对于修改某点
的值是非常容易的，复杂度是O(1)，但是对于求一个区间的和就要扫一遍了，复杂度是O(N)，如果实时的对数组进行M次修改或
求和，最坏的情况下复杂度是O(M*N)，当规模增大后这是划不来的！而树状数组干同样的事复杂度却是O(M*lgN)，在上一篇
新年彩灯那里我已经做过解释了，如果我们用普通数组肯定会超时，然而树状数组就不会。
接下来我们讲一讲树状数组的代码实现。
首先我们来介绍一个函数：：：：：lowbit：：：：：：：lowbit(k)就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,
比如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，
接下来给出模板
int low_bit(int x)
{
return x&(-x);
}那lowbit函数有什么用处呐？
假设A[]数组为存储原来的值得数组，C[]为树状数组。
根据定义：C[i] = A[i - 2^k + 1] + ..... + A[i] 其中k为i用二进制表示时的末尾0的个数。例如：i= 10100,则k = 2，i = 11000，
则k = 3；为了方便我直接写的是二进制的i，请读者注意。
此时我们可以知道，C[i] 它里面包含了2^k个A[]元素，这2^k个元素是从C[i]往后一直递减的2^k个元素，即i 一直减小的。
而lowbit就是求2 ^k的函数，就是是某个点管辖范围。
如果是x+=x&(-x);就是得到的改点的父节点的值；比如x=4时；就能得到8；
而x-=x&(-x)的话，就是得到x这个点的管辖区间的下个区间的管辖点；
比如说，x=7,代入后6；不断循环到0能依次得到 6.。。4.；
把他们所有的管辖区间正好是1....7；
第二个函数：：：：：：：：：：：add：：getResult：：：update：：plus：：
这不是四个函数，只是他有很多名字，大概就是怎么几个，看着眼熟就可以了，
接下来是模板
void update(int k,int num)
{
while(k<=n)
{
c[k]+=num;
k+=k&-k;
}
}
这个函数，是用来修改树状数组的；
如果是一般的算法只用修改改点就可；但是树状数组必须修改所有改点被管辖的区间；
比如把a数组的 a[2]减去1，（令N=16）；则所有2被管辖的点有4，8，16都应该减去1；
就是调用函数 update（2，-1）；
第三个函数：：：：：：read：：：：：getSum：：：：：：：：：：
虽然可能函数名不一样但是他们的功能一样，就是求和
int read(int k)//1~k的区间和
{
int sum=0;
while(k)
{
sum+=tree[k];
k-=k&-k;
}
return sum;
}这个函数是求1~k的区间和。
我们来看看i = 11000(2进制)，这个数，如何快速求出前i个元素的和。
我们知道：11000 = 2^3 + 2^4
也就是它总共有2^3+2^4 个元素，我们回想一下前面的知识，C[11000]包括了几个元素，2^3个？对！，就是2^k,k=lowbit(11000) 个，而这2^3个就是11000一直递减的2^3个，而还有2^4个呢？聪明的读者会发现那是不是就是C[10000]包括的元素的个数呢？就是2^k，k=lowbit(10000).而这2^4个刚好是接着11000的2^3个之后的2^4个。
所以S[11000] = C[11000] + C[10000],S[i]为前i项的和。
接下来我们做一个总结，我们有难到易慢慢来
1.单点修改，单点查询
其实这个跟树状数组没什么关系，就普通数组就好了。树状数组反而容易出错
2.单点修改，区间查询
int low_bit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int i,int c)
{
while(i<=n) //n是一共有多少点
{
a[i]+=c;
i+=low_bit(i);
}
}
int read(int i)
{
int ans=0;
while(i>0)
{
ans+=a[i];
i-=low_bit(i);
}
return ans;
}
int main()
{
add(i,c); // i是对那个点增加 c 是要增加的多少
//若查询 l--r 区间的和
ans=read(r)-read(l-1);
}
3.区间修改，单点查询
int low_bit(int x)
{
return x&(-x);
}
void add(int i,int c)
{
while(i<=n) //n是一共有多少点
{
a[i]+=c;
i+=low_bit(i);
}
}
int read(int i)
{
int ans=0;
while(i>0)
{
ans+=a[i];
i-=low_bit(i);
}
return ans;
}
int main()
{
add(l,c)
add(r+1,-c)
//对l--r区间加 c
read(i) //查询i点的值
}
4.区间修改，区间查询
这个是最难的部分，我也不是很懂，如果有误请大佬指正，我马上改。
首先我们设原来的数组是a[i]，a[i]里保存的是前i个元素的值总和。
然后设C1,C1代表的是a[i]-a[i-1]，那么就是第i个元素的值；
我们假设sigma(r,i),表示r数组前i项的和。
a[1]+a[2]+...+a[n]
= (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n])
= n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]
= n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n]) (式子①)
那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]
式子①=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)
可能有些人看的蛮蒙圈的，其实我刚开始也是蒙圈的；
下面我帖一道例题
给你N个数，有两种操作：
1：给区间[a,b]的所有数增加X
2：询问区间[a,b]的数的和。
输入描述 Input Description
第一行一个正整数n，接下来n行n个整数，
再接下来一个正整数Q，每行表示操作的个数，
如果第一个数是1，后接3个正整数，
表示在区间[a,b]内每个数增加X,如果是2，
表示操作2询问区间[a,b]的和是多少。
pascal选手请不要使用readln读入
输出描述 Output Description
对于每个询问输出一行一个答案
样例输入 Sample Input
3
1
2
3
2
1 2 3 2
2 2 3
样例输出 Sample Output
9
数据范围及提示 Data Size & Hint
数据范围
1<=n<=200000
1<=q<=200000
#include <cstdio>
#define lowbit(x) (x&-x)
#define ll long long
#define maxn 200010
using namespace std;
ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];
void add(ll *r, ll pos, ll v)
{for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}
ll sigma(ll *r, ll pos)
{
ll ans;
for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];
return ans;
}
int main()
{
ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;
scanf("%lld",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",num+i);
add(c1,i,num[i]-num[i-1]);
add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));
}
scanf("%lld",&q);
while(q--)
{
scanf("%lld",&type);
if(type==1)
{
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);
add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);
add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);
}
if(type==2)
{
scanf("%lld%lld",&a,&b);
sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);
sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);
printf("%lld\n",sum2-sum1);
}
}
return 0;
}
然后下面这个博客里有一些例题你们也可以去看看