八皇后问题是入门回溯法的经典问题,本文借用八皇后问题来阐述一下笔者对于八皇后问题的一些看法。
在我看来,回溯法有点像高中时候的排列组合,都是可以在有限的步骤中完成,而每一步有只有有限的选择,这句话也构成了回溯法的核心。
每一次成功的放置,代表着解答树上某一个节点的产生:下面结合八皇后问题来描述
先来看代码
//回溯法用于可以在有限的步骤中得到结果,而每一步又只有有限次的选择的情况 //解答树可以这样来理解,解答树的每一个节点是在它的那一步看起来是正确的合理的。 //其实一个完整的解答树(包括哪些失败的不合理的点)是把每一步的每一个选择都作为了一个节点,虽然其中有失败的节点。 //回溯法的作用就是找出(不完整的解答树) //提高效率的方式?在判断是否符合条件的操作上下功夫 //比如说在求全排列的时候,DFS比next_permutation效率高的原因? #include<cstdio> #include<cstring> #include<ctime> using namespace std; const int maxn = 50 + 5; int tot = 0; int n; int vis[3][maxn]; void search(int cur) { if(cur == n) tot++; else { for(int i = 0;i < n;i++) { if(!vis[0][i] && !vis[1][cur + i] && !vis[2][cur - i + n]) { vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 1; search(cur + 1); vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 0; } } } } int main() { memset(vis,0,sizeof(vis)); n = 8; search(0); printf("%d\n",tot);return 0; }
首先,完成八皇后问题只需要八步,当然对应于上面这个函数search中的形参cur.
每一步的选择有多少种呢?在八皇后问题中,第i步的,代表要往第i行(行号和步骤号都从0开始)放置皇后,而每一步实际上都有8种选择,因为只能往0~7列上放置皇后。所以完整的(包括了失败的节点)解答树应该是一棵8叉完全树。但是,在这些选择中并不是每一种选择都是成功的,有的在本步就可以确定是错误的,有的需要结合后面几步来判断是不是正确的,但总的来说,只有当前这一步的选择在当前这一步被认为正确以后,真正意义上的解答树中的节点就生成了。
而回溯的意义就是,当在某一步做完选择之后,不管这一步在整个解答树中看起来是正确的还是错误的,都会去判断这一步的下一种选择,就好像是又弯了回来一样。
解答树中的节点个数是确定的,可以提高效率的地方在:如何迅速的判断在当前这一步中的选择是正确的。
方法有两种:
第一种是去遍历之前已经确定好的哪些行,与当前行的选择做比较,来判断是不是正确的
第二种是直接判断我们想要放皇后的 行/列/主对角线/副对角线 是否可以放置。这需要一个vis的二维数组vis[3][maxn],第一行用来判断列,第二行主对角线,第三行副对角线。
可以明显的看出来,第二种的速度比第一种快多了。
联想到之前的全排列问题:
全排列问题的解决实际上也是回溯法
一共有n个位置需要确定是什么
每个位置上一共有n种选择
在非可重集上的DFS方式中,在n个选择中判断的方式就是vis数组
而在可重集上求排列(next_permutation)中,在n个选择中判断的方式是遍历已经放好元素的cur-1个位置
回溯法需要好好的品味,总的来说只有三步,第一:有几个步骤,第二:每一步有多少种选择,第三:判断这次选择是否符合条件的方式