dinic最大权闭合子图

题目：https://www.oj.swust.edu.cn/problem/show/1737

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#define inf 0x3fffffff
using namespace std;
const int maxn=555;
int head[maxn],cnt,cur[maxn];
int s,t,d[maxn];
struct node
{
    int to,cap,next;
} edge[maxn*50];
void init()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    cnt=0;
}
void add_edge(int u,int v,int w)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].cap=w;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++;

    edge[cnt].to=u;
    edge[cnt].cap=0;
    edge[cnt].next=head[v];
    head[v]=cnt++;
}
//dinic算法
//用bfs找出可行流
int bfs()
{
    queue<int>q;
    memset(d,0,sizeof(d));
    d[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(edge[i].cap>0&&d[v]==0)
            {
                d[v]=d[u]+1;
                if(v==t)return 1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return d[t]!=0;
}
//用dfs拓展
int dfs(int u,int flow)
{
    if(u==t)return flow;
    int ans=0,x=0;
    for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].next)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(edge[i].cap>0&&d[v]==d[u]+1)
        {
            x=dfs(v,min(flow-ans,edge[i].cap));
            edge[i].cap-=x;
            edge[i^1].cap+=x;
            if(edge[i].cap)
                cur[u]=i;
            ans+=x;
            if(ans==flow)return flow;
            //edge[i].cap
        }
    }
    if(ans==0)d[u]=0;
    return ans;
}
int dinic(int n)
{
    int ans=0;
    while(bfs())
    {
        for(int i=0; i<=n; i++)
        {
            cur[i]=head[i];
        }
        ans+=dfs(s,inf);
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    init();
    s=0,t=n+m+1;
    int sum=0;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int x;
        char c;
        scanf("%d",&x);
        sum+=x;
        add_edge(s,n+i,x);
        while(1)
        {
            scanf("%d%c",&x,&c);
            add_edge(n+i,x,inf);
            if(c=='\n'||c=='\r')break;
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        int w;
        scanf("%d",&w);
        add_edge(i,t,w);
    }
    sum-=dinic(t);

    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        if(d[i+n])
            printf("%d ",i);
    }
    printf("\n");
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(d[i])
            printf("%d ",i);
    printf("\n");
    printf("%d\n",sum);
    return 0;
}

思路：建立一个s和t，向正权值的点与s连一条与价值的容量的边，负权值则向t连一条负边绝对值的边，原先的边则连一条容量无穷的边，然后为什么可以用dinic的做法呢？

证明最小割所产生的两个集合中，其源点S所在集合(除去S)为最大权闭合图。

首先我们记一个简单割的容量为C,且S所在集合为N，T所在集合为M。

则C=M中所有权值为正的点的权值(即S与M中点相连的边的容量)+N中所有权值为负的点权值的绝对值(即N中点与T中点相连边的容量)。记(C=x1+y1);(很好理解，不理解画一个图或想象一下就明白了)。

我们记N这个闭合图的权值和为W。

则W=N中权值为正的点的权值-N中权值为负的点的权值的绝对值。记(W=x2-y2);

则W+C=x1+y1+x2-y2。

因为明显y1=y2，所以W+C=x1+x2;

x1为M中所有权值为正的点的权值，x2为N中权值为正的点的权值。

所以x1+x2=所有权值为正的点的权值之和(记为TOT).

所以我们得到W+C=TOT.整理一下W=TOT-C.

然后就是求所有正权值的点加起来再减去整幅图的最小割

dinic最大权闭合子图

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