1,矩阵相关运算
矩阵的运算满足分配律和结合律,不满足交换律。
设A、B和C为3个矩阵,
λ为实数,
则
1.1
A(B+C)=AB+AC
1.2
ABC=(AB)C=A(BC)
1.3
λ(A+B)=λA+λB
1.4
λAB=A(λB)
2,转置矩阵相关运算
2.1
(A+B)T=AT+BT
2.2
(λA)T=λAT
2.3
(AB)T=BTAT
若
A=AT,则称矩阵A为对称阵(隐含条件为A是方正,单位方阵为对称阵)
3,方阵的逆矩阵相关运算
若BA=AB=E(A和B为同阶方阵,E为单位方阵),则称A和B互为逆矩阵,记作
B=A−1。
方阵A可逆的充分必要条件是它的行列式不为0。
3.1 若方阵A可逆,则
A−1也可逆,且
(A−1)−1=A
3.2 若方阵A可逆,
λ为实数,则
λA也可逆,且
(λA)−1=λ1A−1
3.3 若方阵A和B均可逆且同阶,则AB也可逆,且
(AB)−1=B−1A−1
对于非方阵,有广义逆的定义。
4,方阵的行列式相关运算
4.1
∣AT∣=∣A∣
4.2
∣λA∣=λn∣A∣ (假设A为n阶)
4.3
∣AB∣=∣A∣∣B∣
5,共轭矩阵的性质
若A、B都是复矩阵,
λ为复数,
则
5.1
A+B=Aˉ+Bˉ
5.2
AB=AˉBˉ
5.3
λA=λˉAˉ