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题目:LintCode/LeetCode
给定一个含不同整数的集合,返回其所有的子集.如果 S = [1,2,3],有如下的解:
[
[3],
[1],
[2],
[1,2,3],
[1,3],
[2,3],
[1,2],
[]
]
求不同元素集合的全部子集问题,虽然网上有各种参考代码,但是从代码反过来去思考作者的思路很难。所以我一直认为代码应该是写给人看的,不应该过于追求代码简洁。
对于求子集问题,网络上AC的答案很多,解题方法有大致三种(推酷链接)。对于其中的递归解法代码,我是看了很久不得要领,于是弃之,转身自己琢磨。
自己独立思考了一个礼拜,从求阶乘的基本递归操作一步步引申出本题的一个解法。所以写本文的目的是想帮助更多的人,能从一个最基本的阶乘的递归去完成求子集的递归。
递归思想的深入应用
首先,我们求 n 的阶乘,很简单。
int myFun(int n){
if( n == 1 || n == 0){ //退出条件
return 1;
}
//将未知递归结果作为已知变量使用
int lastResult = myFun(n-1);
return n * lashResult ;
}
递归有几个要素:
1. 退出条件
2. 参数变化
3. 递推公式
对应的,在阶乘中分别是
1. n是1或0
2. n每次减小1
3. (n的阶乘) = n* (n-1的阶乘)
然后,我们再去思考求子集问题。
[1,2,3]的子集:[ [], [1], [2], [1,2], [3], [1,3], [2,3], [1,2,3] ]
[1,2] 的子集:[ [], [1], [2], [1,2] ]
[1] 的子集:[ [], [1] ]
求123的子集的过程就是:[1,2]的子集里每个元素末尾加3,再并上原来的[1,2]。
抽象下就是:对前一个元素的结果进行处理即得到当前元素的结果。
类似于:
求10的阶乘的过程就是:9的阶乘乘以10
抽象下就是:对9的结果进行处理即为10的结果。
为了求[1,2,3]的子集,我们需要求[1,2]的子集,为了求[1,2]的子集,又需要求[1]的子集,这样不断的递归深入将集合缩小,直到集合只剩下一个元素,此时 [1] 的子集就只有[ [], [1] ] (空集和1本身),同时这时也达到退出条件,递归带着[1]的子集返回,依次返回计算出[1,2]的子集,[1,2,3]的子集。
求子集递归的要素:
1. 退出条件:当源集合元素个数为1
2. 参数变化:求子集的源集合依次缩小1个元素
3. 递推公式:[1,2,3]的子集是[1,2]每个子集添加3,然后并上原[1,2]子集
于是,代码会类似求 n 的阶乘:
//source: vector<int> [1,2,3]
//ind : source的下标
//call : subsetHelper(source, source.size()-1)
vector<vector<int>> subsetHelper(vector<int>& source, int ind){
vector<int> subset;
vector<vector<int>> result;
//退出条件:问题缩减至求仅含单个元素集合的子集
if (ind == 0) {
subset.push_back(source[0]);//self
result.push_back(subset); //null set
result.push_back(subset);
return result;
}
//参数变化:ind-1缩小需要求子集的集合直至只剩一个元素
result = subsetHelper(source, ind - 1);
//递推公式:下面是将上次递归结果运用到递推公式
vector<vector<int>> ori = result;
//递推公式步骤1:对[1,2]的每个子集添加3
int i = 0;
for ( i = 0; i < result.size(); i++) {
result[i].push_back(source[ind]);
}
//递推公式步骤2:将[1,2]的子集和加3后的子集合并
result.insert(result.end(), ori.begin(), ori.end());
return result;
}
为了代码清晰阅读性高,上面是最原始的代码。下面是整理后的代码(将返回vector改为传引用减少复制)。
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
void subsetHelper(vector<int>& source, int ind, vector<vector<int>>& result){
vector<int> subset;
//1. 退出:当集合只有一个元素时
//2. [1,2]的每个子集都添加[3]
//3. [1,2]的子集与加3后的子集合合并
//1
if (ind == 0) {
result.push_back(subset); //add null set
subset.push_back(source[0]);
result.push_back(subset);
return ;
}
subsetHelper(source, ind - 1, result);
vector<vector<int>> ori = result;//复制集合
//2
int i = 0;
for ( i = 0; i < result.size(); i++) {
result[i].push_back(source[ind]);
}
//3
result.insert(result.end(), ori.begin(), ori.end());
}
int main()
{
vector<int> source;
source.push_back(1);
source.push_back(2);
source.push_back(3);
vector<vector<int>> result;
//求[1,2,3]的子集
subsetHelper(source, (int)source.size() -1, result);
//打印结果
for (int j = 0; j < result.size(); j++) {
for (int i = 0; i < result[j].size(); i++) {
cout<<result[j][i];
}
cout<<endl;
}
return 0;
}
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