前言

为什么要研究离散型随机变量和其分布列？

一、相关概念

• 随机变量

• 离散型随机变量

• 连续型随机变量

• 离散型随机变量的分布列

• 离散型随机变量的均值

\(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+x_3p_3+\cdots+x_np_n\)，称为离散型随机变量\(X\)的均值或数学期望，其刻画的是离散型随机变量\(X\)取值的平均水平。

它和\(\bar{x}=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\)是一致的吗？一致的，上述的概念实质是\(x_i\)加权平均值。

• 离散型随机变量的方差

\(D(X)=\sum\limits_{i=1}^n{(x_i-E(X))^2\cdot p_i}\)，为随机变量\(X\)的方差，它刻画了随机变量\(X\)与其均值\(E(X)\)的平均偏离程度，其算术平方根\(\sqrt{D(X)}\)为随机变量\(X\)的标准差．

它和\(s^2=\cfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^2]\)的定义是一致的吗？一致的，上述的概念实质是\((x_i-E(X))^2\)的加权平均值。

二、 相关性质

• 离散型随机变量的均值

\(E(aX+b)=aE(X)+b\)；

对比：如果数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的平均数为\(\bar{x}\)，则数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)的平均数为\(a\bar{x}+b\)；

• 离散型随机变量的方差

\(D(aX+b)=a^2\cdot D(X)\)；

对比：如果数据\(x_1\)，\(x_2\)，\(\cdots\)，\(x_n\)的方差为\(s^2\)，则数据\(ax_1+b\)，\(ax_2+b\)，\(\cdots\)，\(ax_n+b\)的方差为\(a^2\cdot s^2\)；

三、常见分布列

• 两点分布

• 超几何分布

• 二项分布