$\qquad$本文限于讨论规模 $n\times n$的方阵 $A$.

$\qquad$我们知道方阵也可以看做是一个映射： $R^n \rightarrow R^n$.而如果一个 $R^n$空间的子空间 $T$满足: $\forall x\in T,Ax\in T$，我们就称T是A的一个不变子空间. 不变子空间是矩阵化简的一个利器.

$\qquad$设 $R^n$可以分解 $s$个不变子空间的直和：
$R^n=W_1\oplus W_2\oplus \cdots \oplus W_s$ $\qquad$而 $W_i,i=1,2,\cdots,s$是不变子空间，不妨设 $W_i$的一组基是 $x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ir_i}$,那么就有：
$A[x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ir_i}]=[x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ir_i}]A_i$ $\qquad$其中 $A_i$是一个 $r_i\times r_i$的方阵。这是因为 $Ax_{i1},Ax_{i2},\cdots,Ax_{ir_i}$仍在 $W$中，所以它们都可以被基 $x_{i1},x_{i2},\cdots,x_{ir_i}$线性表出。
$\qquad$另一方面， $x_{11},x_{12},\cdots,x_{1r_1},\cdots,x_{s1},x_{s2},\cdots,x_{sr_s}$是 $R^n$的一组基，在这组基下有： $A[x_{11},x_{12},\cdots,x_{1r_1},\cdots,x_{s1},x_{s2},\cdots,x_{sr_s}]\\=[x_{11},x_{12},\cdots,x_{1r_1},\cdots,x_{s1},x_{s2},\cdots,x_{sr_s}]\begin{bmatrix}A_1&\quad&\quad&\quad\\\quad&A_2&\quad&\quad\\\quad&\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\quad&A_s\end{bmatrix}$ $\quad$或者将上式简写为： $AX=X\begin{bmatrix}A_1&\quad&\quad&\quad\\\quad&A_2&\quad&\quad\\\quad&\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\quad&A_s\end{bmatrix}$
$\quad$于是便有： $X^{-1}AX=\begin{bmatrix}A_1&\quad&\quad&\quad\\\quad&A_2&\quad&\quad\\\quad&\quad&\ddots&\quad\\\quad&\quad&\quad&A_s\end{bmatrix}$

$\quad$综上，如果 $R^n$可以分解多个A不变子空间的直和，就可以通过上述构造的相似变换，将A相似变换为一个块对角矩阵。这就是不变子空间直和分解和矩阵化简的关系。