版权声明:Edited by I Hsien https://blog.csdn.net/POTASSIUM711/article/details/88096526
先来看看一个典型的二元一次不定方程:
ax+by−c=0a,b,c∈zx,y∈z
为了方便不妨限定
c⩾0.
下面给出一个是否有解的定理:
theorem:gcd(a,b)∣c⟺不定方程ax+by=c有无数个整数解.
下面用之前提到的裴蜀等式(或者裴蜀定理,叫什么都好)证明
proof:∵∃s,t∈z,sa+tb=gcd(a,b),∴when gcd(a,b)∣c,The solution is [s∗(c/gcd(a,b)),t∗(c/gcd(a,b))] Q.E.D
既然有解,那解是什么就成了下一个问题.
下面是结论:
对于特解 x0,y0其他的解为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=x0±gcd(a,b)t∗by=y0∓gcd(a,b)t∗a
下面是不太数学化的证明XD
已经通过各种黑科技得到特解
x0,
y0,那么就形成了一种"平衡状态",要得到其他的整数解必须要基于这个状态进行"无害化"修改.那么就只能像这样:
ax0+by0=c→ ax0±m+by0∓m=c→a(x0±m/a)+b(y0∓m/b)=c
当且仅当
a∣m∧b∣m,有新的整数解.此时m为a,b的公倍数.
根据定理,
[a,b]∣m,
m=[a,b]∗t
又因为
[a,b]=gcd(a,b)a∗b
带入得证.
这只是不定方程中最简单的一种情况,至于更复杂的多元高次不定方程,那就是另一回事了.