笔记

本节主要考虑如何保持堆（最大堆）的性质。给定最大堆 $A$中的一个元素 $i$，它有可能不符合最大堆的性质，即 $A[i]$有可能小于它的孩子，但是它的两棵子树已经满足了最大堆的性质。我们通过一个MAX-HEAPIFY过程来使得以 $A[i]$为根的子树满足最大堆性质，MAX-HEAPIFY是通过让 $A[i]$在最大堆中“逐层下降”来达成这一目标的。
　　
　　简单描述一下MAX-HEAPIFY的执行过程。先从 $A[i]、A[{\rm LEFT}(i)]、A[{\rm RIGHT}(i)]$中找出最大值，并将最大值的下标保存在 $largest$中。如果 $A[i]$是最大的，那么以 $i$为根的子树已经满足最大堆性质，无需再做调整。如果 $A[i]$不是最大的，那么最大值必然是 $A$的某个孩子，交换 $A[i]$和 $A[largest]$，将 $A[largest]$放置到子树的根的位置，使得 $i、{\rm LEFT}(i)、{\rm RIGHT}(i)$这三个结点满足最大堆性质。然而，由于 $A[i]$被放置到了 $largest$位置，那么现在的 $A[largest]$也有可能小于它的孩子，因此还需要对以 $A[largest]$为根的子树递归调用MAX-HEAPIFY。可以看到，如果 $A[i]$不满足最大堆性质，那么 $A[i]$就会逐层下降，直到满足最大堆性质为止，或者直到降到最底层为止。
　　下图给出了一个例子。初始时 $A[i] = 4$，然后逐层下降，一直降到了最底层。
　　
　　MAX-HEAPIFY的核心是让不满足最大堆性质元素逐层下降，而逐层下降的次数不会超过整棵树的高度，因此MAX-HEAPIFY的时间复杂度为 $O(h)$，也就是 $O({\rm lg}n)$。

练习

6.2-1 参照图6-2的方法，说明MAX-HEAPIFY(A, 3)在数组A = <27, 17, 3, 16, 13, 10, 1, 5, 7, 12, 4, 8, 9, 0>上的操作过程。
　　解
　　

6.2-2 参考过程MAX-HEAPIFY，写出能够维护最小堆的MIN-HEAPIFY(A, i)伪代码，并比较MIN-HEAPIFY与MAX-HEAPIFY的运行时间。
　　解
　　
　　显然，MIN-HEAPIFY与MAX-HEAPIFY的运行时间一样，也为 $O({\rm lg}n)$。

6.2-3 当元素 $A[i]$比其孩子的值都大时，调用MAX-HEAPIFY(A, i)会有什么结果？
　　解
　　元素 $A[i]$比其孩子的值都大时， $A[i]$满足最大堆的性质，调用MAX-HEAPIFY(A, i)不会有任何改变。

6.2-4 当 $i &gt; A.heap\_size/2$时，调用MAX-HEAPIFY(A, i)会有什么结果？
　　解
　　根据练习6.1-7的结论，当 $i &gt; A.heap\_size/2$时， $A[i]$一定为叶结点，故调用MAX-HEAPIFY(A, i)不会有任何改变。

6.2-5 MAX-HEAPIFY的代码效率较高，但第10行中的递归调用可能例外，它可能使某些编译器产生低效的代码。请用循环控制结构取代递归，重写MAX-HEAPIFY代码。
　　解
　　

6.2-6 证明：对一个大小为 $n$的堆，MAX-HEAPIFY的最坏情况运行时间为 $Ω({\rm lg}n)$。（提示：对于 $n$个结点的堆，可以通过对每个结点设定恰当的值，使得从根结点到叶结点路径上的每个结点都会递归调用MAX-HEAPIFY。）
　　解
　　利用练习6.1-2的结论，含有 $n$个元素的堆高度为 $⌊{\rm lg}n⌋$。MAX-HEAPIFY的最坏情况为，从树的根结点开始，逐层下降，直到最底层。因此MAX-HEAPIFY的最坏情况运行时间为 $Ω({\rm lg}n)$。