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Problem

输入正整数$K_1$($K1\le50000)$，找一个12位正整数$K_2$使得$K_1^ {K_2} \equiv K_2 \pmod {10^{12}}$。

Solution

一开始以为是解同余方程，想要构造答案，后来发现想歪了，只能枚举。这个式子可以使用不动点迭代来解。但是直接快速幂不仅超时，根本就算不出答案。参照这位大佬的乘法优化，可以快速迭代出答案。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e12;

ll mul(ll a,ll b)
{
    ll p=1<<20,pb=b>>20;
    ll ans=(((a*pb%mod)*p%mod)+(a*(b&(p-1))))%mod;
    return ans;
}

ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=mul(ans,a)%mod;
        a=mul(a,a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll solve(int k,ll r)
{
    while(1)
    {
        ll t=qpow(k,r);
        if(t==r) return r;
        r=t;
    }
}

int main()
{
    int k,rnd=0;
    while(scanf("%d",&k),k)
    {
        ll r=1e12+9;
        ll ans=solve(k,r);
        printf("Case %d: Public Key = %d Private Key = %lld\n",++rnd,k,ans);
    }
    return 0;
}