附dalao博客地址:https://blog.csdn.net/zcy19990813/article/details/88720995
首先还是先看一下什么是快速幂 https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html
矩阵快速幂讲解 https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52058209
Count
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Description
Farmer John有n头奶牛.
某天奶牛想要数一数有多少头奶牛,以一种特殊的方式:
第一头奶牛为1号,第二头奶牛为2号,第三头奶牛之后,假如当前奶牛是第n头,那么他的编号就是2倍的第n-2头奶牛的编号加上第n-1头奶牛的编号再加上自己当前的n的三次方为自己的编号. 现在Farmer John想知道,第n头奶牛的编号是多少,估计答案会很大,你只要输出答案对于123456789取模.
Input
第一行输入一个T,表示有T组样例
接下来T行,每行有一个正整数n,表示有n头奶牛 (n>=3)
其中,T=10^4,n<=10^18
Output
共T行,每行一个正整数表示所求的答案
Sample Input
5
3 6 9 12 15
Sample Outpu
31
700
7486
64651
527023
首先,根据题意,可以推出来一个递推公式,F(n)=F(n-1)+2F(n-2)+n^3
令n=n+1,得出 F(n+1)=F(n)+2F(n1)+(n+1)^3,化简得:F(n+1)=F(n)+2F(n1)+n^3+3n^2+3n+1
还是看图吧
图片链接 : https://blog.csdn.net/zcy19990813/article/details/88720995
A^(n-2) * B2 的 a[0][0] 即为我们要求的答案
//struct A
//{
// ll x,y;
// bool operator < (const A & a) const
// {
// return x>a.x;
// }
//};
//priority_queue <A> q;
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <deque>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#define eps 0.0000000001
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define maxx 1e10
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
//priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > q;
#define mod 123456789
const int maxn=6;
struct Matric
{
ll a[maxn][maxn];
void init()
{
mem(a);
for(int i=0;i<maxn;i++)
a[i][i]=1;
}
};
Matric mul(Matric x,Matric y)
{
Matric ans;
for(int i=0;i<maxn;i++)
{
for(int j=0;j<maxn;j++)
{
ans.a[i][j]=0;
for(int k=0;k<maxn;k++)
{
ans.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
ans.a[i][j]%=mod;
}
}
}
return ans;
}
Matric qpow(Matric x,ll n)
{
Matric ans;
ans.init();
while(n)
{
if(n%2==1)
ans=mul(ans,x);
x=mul(x,x);
n/=2;
}
return ans;
}
int main()
{
int T;cin>>T;
while(T--)
{
ll n;
Matric B2,ans;
Matric A;
ll t[maxn][maxn]={
1,2,1,3,3,1,
1,0,0,0,0,0,
0,0,1,3,3,1,
0,0,0,1,2,1,
0,0,0,0,1,1,
0,0,0,0,0,1};
for(int i=0;i<maxn;i++)
for(int j=0;j<maxn;j++)
A.a[i][j]=t[i][j];
mem(B2.a);
B2.a[0][0]=2;
B2.a[1][0]=1;
B2.a[2][0]=8;
B2.a[3][0]=4;
B2.a[4][0]=2;
B2.a[5][0]=1;
cin>>n;
if(n==1)
cout<<"1"<<endl;
else if(n==2)
cout<<"2"<<endl;
else
{
ans=qpow(A,n-2);
ans=mul(ans,B2);
cout<<ans.a[0][0]<<endl;
}
}
return 0;
}