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前言:
本算法是树剖DDP算法的加速版,复杂度更小(不是特意卡树剖其实看不出来),
但还是比较好写,因此在这里提一下
动态DP
动态DP听起来很黑科技,但其实并不难
首先,能动态的DP本身就很少,需要满足很多限制
而且一般动态DP的题都会给普通DP留部分分,如果有暴力写得好的,甚至可以在低风险下拿到和DDP差不多的分。
扯回正题,动态DP就是把常规DP的转移用矩阵(其实不一定是矩阵,用数据结构特有的维护方式也行,如线段树的区间标记什么的),使得转移可并,然后就能快速地用矩阵加速or树剖解决。
全局平衡二叉树
这玩意感觉没什么用,不过代码挺好写的可以学学
首先,树剖的复杂度是 的,这在一些题目中会被卡
其慢就慢在重链有 条,每条上面都是 的复杂度处理。
所以,其效率的瓶颈就在于重链的处理上。
那么,全局平衡二叉树,就是用于优化重链的处理:
对于一条重链,把它按照划分重心的方式,建一颗二叉树。
换言之,第一层的根节点,是整个树链的重心(这里计算重心要包括轻子树的大小,所以是带权重心),然后它的左右儿子是它左右两个子链的重心……
这样,可以发现,对于任意一个点,其上方所有重链的深度之和是logN的!换言之,从任意一个点出发,一定能经过logN条轻边,logN条重链上的二叉边,到达根节点。
这个很显然,就不证明了
板子题
洛谷 P4719
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
#define INF 0x3FFFFFFF
using namespace std;
int n,m;
struct Matrix{
int num[2][2];
Matrix operator *(const Matrix &a) const {
Matrix tmp;
tmp.num[0][0]=tmp.num[0][1]=tmp.num[1][0]=tmp.num[1][1]=-INF;
for(int k=0;k<2;k++)
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
tmp.num[i][j]=max(tmp.num[i][j],num[i][k]+a.num[k][j]);
return tmp;
}
int maxv(){
return max(num[0][0],num[0][1]);
}
}w[MAXN],mul[MAXN];
vector<int> a[MAXN];
int s[MAXN][2];
int siz[MAXN],son[MAXN],lsiz[MAXN];
void dfs(int x){
siz[x]=1;
for(int i=0;i<int(a[x].size());i++){
int u=a[x][i];
if(siz[u])
continue;
dfs(u);
siz[x]+=siz[u];
if(siz[u]>siz[son[x]])
son[x]=u;
}
lsiz[x]=siz[x]-siz[son[x]];
}
void pushup(int x){
if(s[x][0])
mul[x]=mul[s[x][0]]*w[x];
else
mul[x]=w[x];
if(s[x][1])
mul[x]=mul[x]*mul[s[x][1]];
}
int fa[MAXN];
void setchild(int u,int v){
w[u].num[1][0]+=mul[v].maxv();
w[u].num[0][0]=w[u].num[1][0];
w[u].num[0][1]+=mul[v].num[0][0];
fa[v]=u;
}
bool used[MAXN];
int st[MAXN],tp;
int build(int l,int r){
if(l>r)
return 0;
int tots=0,pres=0;
for(int i=l;i<=r;i++)
tots+=lsiz[st[i]];
for(int i=l;i<=r;i++){
pres+=lsiz[st[i]];
if(pres*2>=tots){
int x=st[i];
s[x][0]=build(l,i-1);
if(s[x][0])
fa[s[x][0]]=x;
s[x][1]=build(i+1,r);
if(s[x][1])
fa[s[x][1]]=x;
pushup(st[i]);
return st[i];
}
}
}
int build_tree(int x){
for(int i=x;i;i=son[i])
used[i]=1;
for(int i=x;i;i=son[i])
for(int j=0;j<int(a[i].size());j++){
int u=a[i][j];
if(used[u])
continue;
int ls=build_tree(u);
setchild(i,ls);
}
tp=0;
for(int i=x;i;i=son[i])
st[++tp]=i;
reverse(st+1,st+1+tp);
return build(1,tp);
}
int val[MAXN];
void Change(int u,int Val){
w[u].num[0][1]+=Val-val[u],val[u]=Val;
for(int i=u;i;i=fa[i]){
if(fa[i]&&s[fa[i]][0]!=i&&s[fa[i]][1]!=i){
w[fa[i]].num[1][0]-=mul[i].maxv();
w[fa[i]].num[0][0]=w[fa[i]].num[1][0];
w[fa[i]].num[0][1]-=mul[i].num[0][0];
pushup(i);
w[fa[i]].num[1][0]+=mul[i].maxv();
w[fa[i]].num[0][0]=w[fa[i]].num[1][0];
w[fa[i]].num[0][1]+=mul[i].num[0][0];
}
else
pushup(i);
}
}
int main(){
SF("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
SF("%d",&val[i]);
w[i].num[0][1]=val[i];
w[i].num[1][1]=-INF;
}
int u,v;
for(int i=1;i<n;i++){
SF("%d%d",&u,&v);
a[u].push_back(v);
a[v].push_back(u);
}
dfs(1);
int rt=build_tree(1);
int Val;
for(int i=1;i<=m;i++){
SF("%d%d",&u,&Val);
Change(u,Val);
PF("%d\n",mul[rt].maxv());
}
}