Splay 文艺平衡树学习笔记(2)

本blog会讲一些简单的Splay的应用，包括但不局限于

1. Splay 维护数组下标，支持区间reserve操作，解决区间问题

2. Splay 的启发式合并（按元素多少合并）

3. 线段树+Splay 大常数树套树

一、Splay维护区间下标解决区间翻转问题

思想：对于数组的下标是不可重复的，我们使用平衡树维护下标，利用Splay的splay操作，让区间都在一棵子树内。

然后直接输出这颗子树的维护信息，由于维护的是子树信息，那么父亲的信息一定可以由两个儿子推出。

于是就可以类似于线段树的操作了（用儿子信息维护父亲信息）。

[LuoGu 模板] 文艺平衡树：维护区间翻转，输出最终区间形态。

Solution ：

考虑splay函数的实质，就是把节点x转到目标节点，并且让Splay树保持BST的性质。

那么显然，对于维护序列下标，其维护的值便是元素对于数组的位置。（一个节点左边儿子子树的位置都小于该节点）

对于一个区间进行翻转，那么事实上就是把l和r下标交换，l+1和r-1下标交换...

那么如何确定这个区间呢，不妨把[l-1]转到根节点，[r+1]转到根节点的右儿子，那么对于根节点右儿子的左儿子所在子树

就可以描述为[l,r]区间。

然而，对于Splay本身来说是不能出现下标为0的情况的，否则会死循环，在(1)中已经讲的非常明确了，所以我们仍然加入一个哨兵节点，对于所有区间均+1

在代码中的实现是这样的。

需要注意的是，特殊的，对于维护位置(下标)是不会出现重复元素的，那么所有节点cnt的值都是1，就省略了。

最后这颗Splay的中序遍历就是最终区间。

# include <bits/stdc++.h>
# define inf (0x3f3f3f3f)
using namespace std;
const int N=2e5+10;
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x) {
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    if (x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x){
    write(x);putchar('\n');
}
struct Splay{
    # define ls(x) (t[x][0])
    # define rs(x) (t[x][1])
    int t[N][2],size[N],val[N],par[N];
    bool rev[N];
    int root,tot;
    Splay(){ root=0,tot=0;insert(-inf);insert(inf);}
    int check (int x) { return rs(par[x])==x;}
    void pushup(int x) { size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
    void rotate(int x) {
        int y=par[x],k=check(x);
        t[y][k]=t[x][k^1]; par[t[x][k^1]]=y;
        t[x][k^1]=y;
        t[par[y]][check(y)]=x; par[x]=par[y]; par[y]=x;
        pushup(y); pushup(x);
    }
    void splay(int x,int goal=0) {
        while (par[x]!=goal) {
            int y=par[x],z=par[y];
            if (z!=goal) rotate(check(x)==check(y)?y:x);
            rotate(x);
        }
        if (!goal) root=x;
    }
    void down(int x) {
        if (rev[x]) {
            swap(ls(x),rs(x));
            rev[ls(x)]^=1; rev[rs(x)]^=1;
            rev[x]=0;
        }
    }
    void insert(int x){
        int cur=root,p=0;
        while (cur && val[cur]!=x)
          p=cur,cur=t[cur][x>val[cur]];
        cur=++tot;
        if (p) t[p][x>val[p]]=cur;
        t[cur][0]=t[cur][1]=0;
        val[cur]=x; par[cur]=p;
        size[cur]=1;
        splay(cur);
    }
    int kth_id(int k) {
        int cur=root;
        while (true) {
            down(cur);
            if (t[cur][0] && k<=size[ls(cur)]) cur=ls(cur);
            else if (k>size[ls(cur)]+1) {
                k-=size[ls(cur)]+1;
                cur=rs(cur);
            } else return cur;
        }
    }
    void reserve(int l,int r) {
        int x=kth_id(l),y=kth_id(r+2);
        splay(x); splay(y,x);
        rev[ls(y)]^=1;
    }
    void print(int x) {
        down(x);
        if (ls(x)) print(ls(x));
        if (val[x]!=-inf&&val[x]!=inf) printf("%d ",val[x]);
        if (rs(x)) print(rs(x));
    }
}tr;
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) tr.insert(i);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int l=read(),r=read();
        tr.reserve(l,r);
    }
    tr.print(tr.root);
    return 0;
}

P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）

[例题：序列终结者]

用Splay维护3个操作

1 L R V : 区间[L,R]每个元素+V

2 L R ：将区间[L,R]翻转

3 L R ：输出区间[L,R]的最小值

Hint ：元素初始值都为 0

Solution：

Splay 文艺平衡树学习笔记(2)

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