设两数为a、b(a>b),用 表示a,b的最大公约数,r=a (mod b) 为a除以b的余数,k为a除以b的商,即 。
辗转相除法即是要证明 。
第一步:令 ,则设
第二步:根据前提可知
第三步:根据第二步结果可知, 也是 的因数
第四步:可以断定 与 互质
(这里用反证法进行证明:设 ,
则 ,
则a与b的一个公约数 ,故c非a与b的最大公约数,与前面结论矛盾,因此c也是b与r的最大公约数)
从而可知 ,继而 。
证毕
注:以上步骤的操作是建立在刚开始时 的基础之上的,即m与n亦互质。
摘自百度百科