1. 问题描述

据说著名犹太历史学家 $Josephus$ 有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后， $39$ 个犹太人与 $Josephus$ 及他的朋友躲到一个洞中， $39$ 个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式， $41$ 个人排成一个圆圈，由第 $1$ 个人开始报数，每报数到第 $3$ 人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而 $Josephus$ 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过 $k-2$ 个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第 $k$ 个人。不断重复上述过程，直到最终只剩下一个人，这个人就可以继续活着。问题是，一开始要站在什么地方才能避免被处决？ $Josephus$ 要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第 $16$ 个与第 $31$ 个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

$17$ 世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事： $15$ 个教徒和 $15$ 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法： $30$ 个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余 $15$ 个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。

2、问题分析

以上问题均属于经典约瑟夫问题，考虑到所有人站成一个圈，每隔 $k$ 个人杀掉一个，直到只剩下一个人。结合数据结构相关知识，可以利用循环链表模拟这一过程，如果一个人被杀死将删除链表中相应的结点，直到只剩下唯一节点。该实现方法称为约瑟夫环。

3、实现代码

# 定义结点类
class Node(object):

	def __init__(self, value=None):
		self.value = value
		self.next = None

# 生成循环链表
def CircleLinkedList(n):
	# 构造长度为n的循环链表
	if n != 0:
		root = Node(); p = root
		for i in range(n):
			node = Node(i+1)
			p.next = node
			p = node
		p.next = root.next
		del root
		return p.next

# 获取死亡的顺序
def visit(n, m):
	"""获取访问顺序"""
	m %= n
	res = []
	p = CircleLinkedList(n)
	while p != p.next:
		for i in range(m-2):
			p = p.next
		res.append(p.next.value)
		temp = p.next
		p.next = temp.next
		del temp
		p = p.next
	res.append(p.value)
	return res

# 测试
if __name__ == '__main__':

	n, m = 41, 3
	lst = visit(n, m)
	print(lst)

# 结果
[3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 
 36, 39, 1, 5, 10, 14, 19, 23, 28, 32, 
 37, 41, 7, 13, 20, 26, 34, 40, 8, 17, 
 29, 38, 11, 25, 2, 22, 4, 35, 16, 31]

由以上结果可以明显看出，最后死亡的两个人分别为编号 $16$ 和 $31$ ，因此， $Josephus$ 帮助自己和朋友成功摆脱自杀的结局。这个故事告诉我们，算法改变命运，hahahaha~