双三次插值算法：
在数学上，双三次插值是三次插值在二维规则网格上插值数据点的推广。所述插值曲面比用双线性插值或最近邻插值得到的相应曲面平滑.双三次插值可以用拉格朗日多项式、三次样条或三次卷积算法来完成。

在图像处理中，当速度不是问题时，在图像重采样中，双三次插值往往选择双线性或最近邻插值。与双线性插值(只考虑4个像素(2×2)相比，双三次插值考虑16个像素(4×4)。用双三次插值重放的图像更平滑，具有较少的插值伪影。

假设函数的值 $f$及其偏导 $f_x$, $f_y$ 和 $f_{xy}$在单位方形的四个角 $(0,0)$ , $(1,0)$, $(0,1)$和 $(1,1)$是已知的，所以插值表面可以被写如下:
$p(x,y)=\sum_{i=0}^{i=3}\sum_{i=0}^{i=3} a_{ij}x^iy^j$插值问题由确定16个系数 $a_{ij}$构成，匹配 $p(x,y)$和函数值产生四个公式如下：

$f(0,0)=p(0,0)=a_{00},$
$f(1,0)=p(1,0)=a_{00}+a_{10}+a_{20}+a_{30},$
$f(0,1)=p(0,0)=a_{00}+a_{01}+a_{02}+a_{03},$
$f(1,1)=p(1,1)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{i=0}^{3} a_{ij}.$

同样的在 $x$和 $y$的8个偏导公式可以得到：

$f_x(0,0)=p_x(0,0)=a_{10},$
$f_x(1,0)=p_x(1,0)=a_{10}+2a_{20}+3a_{30},$
$f_x(0,1)=p_x(0,1)=a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13},$
$f_x(1,1)=p_x(1,1)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{i=0}^{3} a_{ij}i.$
$f_y(0,0)=p_y(0,0)=a_{01},$
$f_y(1,0)=p_y(1,0)=a_{01}+a_{11}+a_{21}+a_{31},$
$f_y(0,1)=p_y(0,1)=a_{01}+2a_{02}+3a_{03},$
$f_y(1,1)=p_y(1,1)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{i=0}^{3} a_{ij}j.$

和有关 $xy$混合偏导的四个公式：

$f_{xy}(0,0)=p_{xy}(0,0)=a_{11},$
$f_{xy}(1,0)=p_{xy}(1,0)=a_{11}+2a_{21}+3a_{31},$
$f_{xy}(0,1)=p_{xy}(0,1)=a_{11}+2a_{12}+3a_{13},$
$f_xy(1,1)=p_xy(1,1)=\sum_{i=0}^{3}\sum_{i=0}^{3} a_{ij}ij.$

上面表达式可用下列公式表示：

$p_x(x,y)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=0}^3a_{ij}ix^{i-1}y^j$
$p_y(x,y)=\sum_{i=0}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}x^{i}jy^{j-1}$
$p_{xy}(x,y)=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3a_{ij}ix^{i-1}jy^{j-1}$

这个过程产生了一个拟合面 $p(x,y)$在单位方形 $[0,1]\times[0,1]$,该方形连续可导，然后，在任意大小的规则网格上进行双三次插值，通过将这样的双三次曲面拼接在一起，确保导数在边界上匹配。

将未知参数 $a_{ij}$以向量的形式组合起来：

$\alpha= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{10} & a_{20} &a_{30} &a_{01} &a_{11} &a_{21}& a_{31} &a_{02} &a_{12} &a_{22} &a_{32}& a_{03}& a_{13}& a_{23} &a_{33} \end{bmatrix}^T$
并且令：

$x=[$     $f(0,0)$     $f(1,0)$     $f(0,1)$     $f(1,1)$     $f_x(0,0)$     $f_x(1,0)$     $f_x(0,1)$     $f_x(1,1)$     $f_y(0,0)$     $f_y(1,0)$     $f_y(0,1)$     $f_y(1,1))$     $f_xy(0,0)$     $f_xy(1,0)$     $f_xy(0,1)$     $f_xy(1,1)]$

将上述公式重构为一个矩阵的线性方程组 $A\alpha=x$。
反转这个方程给出一个更有用的线性方程 $A^{-1}X=\alpha$，其中：

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ -3&3&0&0&-2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 2&-2&0&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&-3&3&0&0&-2&-1&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&0&2&-2&0&0&1&1&0&0\\ -3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&-3&0&3&0&0&0&0&0&-2&0&-1&0\\ 9&-9&-9&9&6&3&-3&3&6&-6&3&-3&4&2&2&1\\ -6&6&6&-6&-3&-3&3&3&-4&4&-2&2&-2&-2&-1&-1\\ 2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2&0&-2&0&0&0&0&0&1&0&1&0\\ -6&6&6&-6&-4&-2&4&2&-3&3&-3&3&-2&-1&-2&-1\\ 4&-4&-4&4&2&2&-2&-2&2&-2&2&-2&1&1&1&1\\ \end{bmatrix}$
这样可以令 $\alpha$被快速简单的计算，这儿有另一个关于16个系数更具体的矩阵形式：

$\begin{bmatrix} f(0,0)&f(0,1)&f_y(0,0)&f_y(0,1)\\ f(1,0)&f(1,1)&f_y(1,0)&f_y(1,1)\\ f_x(0,0)&f_x(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\ f_x(1,0)&f_x(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 1&1&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&2&3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\ a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1&0&0\\ 0&1&1&1\\ 0&1&0&2\\ 0&1&0&3 \end{bmatrix}$
或者

$\begin{bmatrix} a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\ a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&0&1&0\\ -3&3&-2&1\\ 2&-2&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} f(0,0)&f(0,1)&f_y(0,0)&f_y(0,1)\\ f(1,0)&f(1,1)&f_y(1,0)&f_y(1,1)\\ f_x(0,0)&f_x(0,1)&f_{xy}(0,0)&f_{xy}(0,1)\\ f_x(1,0)&f_x(1,1)&f_{xy}(1,0)&f_{xy}(1,1) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&-3&2\\ 0&0&3&-2\\ 0&1&-2&1\\ 0&0&-1&1 \end{bmatrix}$
其中

$p(x,y)=\begin{bmatrix} 1&x&x^{2}&x^{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{00}&a_{01}&a_{02}&a_{03}\\ a_{10}&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{20}&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{30}&a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\y\\y^{2}\\y^{3} \end{bmatrix}$

双三次卷积算法：
双三次样条插值要求对每个网格单元进行上述线性系统的求解。通过在两个维度中应用具有以下核的卷积，可以得到具有类似性质的内插器：
$W(x)=\begin{cases} (a+2)|x|^3-(a+3)|x|^2 &for |x|\leq1,\\ a|x|^3-5a|a|^2+8a|x|-4a &for 1\leq|x|\leq2,\\ 0 &otherwise.\\ \end{cases}$
其中 $\alpha$通常被设置在-0.5或者-0.75。注意 $W(0)=1$和对于任何的非零整数 $W(n)=0$。这种方法是由Keys提出的，其展示了当 $\alpha=-0.5$时，相对于原始函数的采样间隔将会有收敛于三阶。
如果我们使用矩阵形式对于常见的例子 $\alpha=-0.5$,我们可以表示等式以一种更友好的方式：
$p(t)=\frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1&t&t^2&t^3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&2&0&0\\ -1&0&1&0\\ 2&-5&4&-1\\ -1&3&-3&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{-1}\\f_0\\f_1\\f_2 \end{bmatrix}$
其中 $t$是在0到1之间，维度为1,。注意一维的三次卷积插值仅有4个采样点被需要。为了确保两个采样点在它的左边，两个采样点在它的右边。这些点的索引在本文中是从-1到2的。从索引为0的点到查询点的距离在这里用 $t$来申明。对于二维，首先在 $x$方向上应用一次，其次在 $y$方向应用一次。

$b_{-1}=p(t_x,f(-1,-1),f(0,-1),f(1,-1),f(2,-1)),$
$b_{0}=p(t_x,f(-1,0),f(0,0),f(1,0),f(2,0)),$
$b_{1}=p(t_x,f(-1,1),f(0,1),f(1,1),f(2,1)),$
$b_{2}=p(t_x,f(-1,2),f(0,2),f(1,2),f(2,2)),$
$p(x,y)=p(ty,b_{-1},b_0,b_1,b_2).$

转载自：https://en.wikipedia.org/wiki/Bicubic_interpolation