申明： 仅个人小记

看待矩阵有很多种不同的角度，当我们把矩阵看作是一种变换的时候，我认为矩阵对应的变换只有：拉伸和旋转。

$$A\vec{x}=\vec{y}$$ （可以用相关性来辅助我想表达的意思， 拉伸和 旋转是互相独立的，即 拉伸能做的 旋转不一定能做到，而 旋转能做的 拉伸不一定能做到。补充： 投影则只是当 拉伸比例为0时的一个特例。我的意思就是矩阵的所能产生的所有变换都是可以有 拉伸和 旋转混合而得到）。

注： 本文只探讨拉伸变换部分

Q： 为什么总是看到n个线性无关的特征向量这种字眼？
因为n个线性无关的特征向量可以完备的构建出n维空间。

一、矩阵得到特征向量进而分析矩阵的变换内容

注： 本段讨论都是基于n个线性无关的特征向量存在的情况。
矩阵A有n个线性无关的特征向量，记为

$$\vec{\xi_1}，\vec{\xi_2}，...，\vec{\xi_n}$$ 相应的特征值（可以有重根）为，
$$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$$ 取任意一个n维向量 $\vec{x}$，因为 $\vec{\xi_1}，\vec{\xi_2}，...，\vec{\xi_n}$是n个线性无关的特征向量，所以必然可以撑起一个有n个n维向量构成的完备的n维空间。所以必然向量 $\vec{x}$可以由 $\vec{\xi_1}，\vec{\xi_2}，...，\vec{\xi_n}$这n个线性无关的特征向量进行线性表示，记为 $$\vec{x}= k_1\vec{\xi_1}+k_2\vec{\xi_2}+...+k_3\vec{\xi_n}$$ 我们现在来看待 $$A\vec{x}=\vec{y}$$
即为， $$A(k_1\vec{\xi_1}+k_2\vec{\xi_2}+...+k_3\vec{\xi_n})=\lambda_1k_1\vec{\xi_1}+\lambda_2k_2\vec{\xi_2}+...+\lambda_nk_n\vec{\xi_n}=\vec{y}$$
这个式子非常清晰的告诉我们矩阵A对向量 $\vec{x}$到底做了什么进而变为向量 $\vec{y}$，就是在 $\vec{x}$在 $\vec{\xi_1}，\vec{\xi_2}，...，\vec{\xi_n}$上的各个分量，分别做 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$这样程度的拉伸。

注意到，$\vec{x}$是任意取的一个向量，即任意一个向量都可以由$\vec{x}$在$\vec{\xi_1}，\vec{\xi_2}，...，\vec{\xi_n}$线性组合而得到，矩阵A的变换统统都是在这组基上的拉伸动作而已。所以，可以说矩阵A是对原有空间，基于找出的特征向量，按相应的特征值对整个空间进行拉伸变换。

二、根据想要的拉伸变换写出相应的矩阵

显然，我们实际处理中，会常常遇到自己想要进行一种变换，如果是简单的还好，稍微复杂的就不太好搞定了。而这种问题实际上就是对上面讨论的一个逆向，并不难。
举例：我想对n维度空间进行一种拉伸变换，具体是想沿着$\vec{\alpha_1}，\vec{\alpha_2}，...，\vec{\alpha_n}$这n个线性无关的向量分别按$p_1,p_2,...,p_n$比例进行拉伸。相应的变换矩阵是什么呢？ $$A\vec{x}=\vec{y}$$ 欲把向量$\vec{x}$变为$\vec{y}$，变换矩阵A具体为多少？
因为$\vec{\alpha_1}，\vec{\alpha_2}，...，\vec{\alpha_n}$是n个线性无关的向量，所以向量$\vec{x}$必然可以表示为 $$\vec{x}=k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_n\vec{\alpha_n}$$ 写成矩阵形式为, $$\vec{x}=\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix}k_1\\k_2\\.\\.\\.\\k_n \end {bmatrix}$$ $$\begin {bmatrix}k_1\\k_2\\.\\.\\.\\k_n \end {bmatrix}={\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}}^{-1}\vec{x}$$ 依据想要的变换，变换结果向量$\vec{y}$必然如下， $$\vec{y}=p_1k_1\vec{\alpha_1}+p_2k_2\vec{\alpha_2}+...+p_nk_n\vec{\alpha_n}$$ 写成矩阵形式为， $$\vec{y}=\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} p_1 & 0&...&0\\0&p_2&...&0\\0&0&...&p_n\end {bmatrix}\begin {bmatrix}k_1\\k_2\\.\\.\\.\\k_n \end {bmatrix}\\=\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} p_1 & 0&...&0\\0&p_2&...&0\\0&0&...&p_n\end {bmatrix}{\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}}^{-1}\vec{x}\\=A\vec{x}$$ 即变换对应的变换矩阵为, $$A=\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} p_1 & 0&...&0\\0&p_2&...&0\\0&0&...&p_n\end {bmatrix}{\begin {bmatrix} \vec{\alpha_1}&\vec{\alpha_2}&...&\vec{\alpha_n}\end {bmatrix}}^{-1}$$

稍微注意一下，矩阵相似对角化是完全融入上述提到内容的，所以上述内容也顺道解释了矩阵相似对角化为什么要求存在n个线性无关的特征向量这个充分必要条件。

补充：（涉及到旋转，此处不深究）
情况：二重特征根只有1个线性无关的特征向量
这时，这个矩阵必然引入了非拉伸动作，本文认为是旋转动作，而特征向量、特征值只是用于表现拉伸动作的，不能对旋转动作进行表示，所以，导致找不到剩余的特征向量。举例： $$A=\begin {bmatrix}-1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2 \end {bmatrix}$$ $\lambda_1=\lambda_2=1$相应特征向量只有一个为 $$\vec{p_1}=\begin {pmatrix} -1\\-2\\1\end {pmatrix}$$ $\lambda_3=2$相应特征向量为 $$\vec{p_2}=\begin {pmatrix} 0\\0\\1\end {pmatrix}$$
引入一个垂直于这两个特征向量的一个向量$\vec{v}=\begin {pmatrix} 2\\-1\\0\end {pmatrix}$(这个向量在$\vec{p_1}$和$\vec{p_2}$上的分量为零，即$\vec{v}$和$\vec{p_1}$、$\vec{p_2}$之间是干干净净的关系)
则向量组$\vec{p_1},\vec{p_2},\vec{v}$可以将任意一个向量$\vec{x}$进行线性表示，即 $$\vec{x}=k_1\vec{p_1}+k_2\vec{p_2}+k_2\vec{v}$$ 进而有， $$A\vec{x}=A(k_1\vec{p_1}+k_2\vec{p_2}+k_2\vec{v})=\lambda_1k_1\vec{p_1}+\lambda_2k_2\vec{p_2}+Ak_2\vec{v}\\=k1\begin {pmatrix} -1\\-2\\1\end {pmatrix}+2k_2\begin {pmatrix} 0\\0\\1\end {pmatrix}+k_3A\vec{v}$$

首先$A\vec{v}$绝对不可能是纯粹的拉伸，因为如果是纯粹的拉伸，那么一定可以写成 $$A\vec{v}=\lambda\vec{v}$$ ，显然，特征向量只能求出两个，$\vec{v}$不可能充当第3个特征向量。我个人观察，发现$A\vec{v}$的呈现的效果是旋转+拉伸，涉及到旋转，本人能力有限，暂且不讨论。