NOI 2001 炮兵阵地状压DP记录状态

title

POJ 1185
LUOGU 2704
CH POJ1185
Description

司令部的将军们打算在N* M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N*M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用"H" 表示），也可能是平原（用"P"表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：
如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。
现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。

Input

第一行包含两个由空格分割开的正整数，分别表示N和M；
接下来的N行，每一行含有连续的M个字符(‘P’或者’H’)，中间没有空格。按顺序表示地图中每一行的数据。N <= 100；M <= 10。

Output

仅一行，包含一个整数K，表示最多能摆放的炮兵部队的数量。

Sample Input

5 4
PHPP
PPHH
PPPP
PHPP
PHHP

Sample Output

6

Source

Noi 01

analysis

这是一道经典的状态压缩类动态规划的题目。

我们可以看到表示列数的 $M（M<=10）$ 很小，考虑用一个数的二进制位 $0$ 与 $1$ 来表示是否放置炮兵，同时我们用 $0$ 来表示高地， $1$ 来表示平原，用 $map[i]$ 来记录。

我们发现，因为炮兵的范围可以延伸到两行，所以我们在考虑 $L$ 行的状态时，总要根据 $L-1$ 行与 $L-2$ 行来推得，于是，我们想到要先将所有可行的状态通过枚举得出来(即满足同行两个炮兵互不攻击)，并用 $state[i]$ 来记录，同时我们也需要把每行所摆的炮兵数用 $Count[i]$ 记录，注意第一行要特殊处理。

完成了以上的准备工作，用 $F[i][J][k]$ 来表示在第i行采用第j个状态，上一行采用第 $k$ 个状态所能得到的最大炮兵数，于是我们很容易得到状态转移方程：

满足 $state[k1] \& state[j]==0 \&\& state[k2]\&state[j]==0 \&\& map[i]|state[j]==map[i]$

$f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j])$

需满足条件中三个条件所代表的意义分别是， $I$ 行与 $I-1$ 行、 $I-2$ 行均不冲突，且与地形不冲突，然后就可以转移状态了。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=105;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
	x=0;
	T f=1, ch=getchar();
	while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
	if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
	while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
	x*=f;
}
int n,m,siz;
int Count[maxn],state[maxn];
int f[maxn][maxn][maxn],Map[maxn];
inline void pre()
{
	for (int i=0; i<(1<<m); ++i)
	{
		int cnt=0,tmp=i,flag=0;
		while (tmp>0)
		{
			if (tmp&1)
			{
				if (flag>0) break;
				else flag=2;
				++cnt;
			}
			else --flag;
			tmp>>=1;
		}
		if (!tmp)
		{
			Count[siz]=cnt;
			if ((Map[1]|i)==Map[1])
				f[1][siz][0]=cnt;
			state[siz++]=i;
		}
	}
}
int main()
{
	read(n);read(m);
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	{
		char str[20];
		scanf("%s",str);
		for (int j=0; j<m; ++j)
			if (str[j]=='P') Map[i]=(Map[i]<<1)+1;
			else Map[i]=(Map[i]<<1)+0;
	}
	pre();
	for (int i=2; i<=n; ++i)
		for (int k1=0; k1<siz; ++k1)
			for (int k2=0; k2<siz; ++k2)
				if (f[i-1][k1][k2]>0)
					for (int j=0; j<siz; ++j)
						if (!(state[k1]&state[j]) && !(state[j]&state[k2]) && (Map[i]|state[j])==Map[i])
							f[i][j][k1]=max(f[i][j][k1],f[i-1][k1][k2]+Count[j]);
	int ans=0;
	for (int i=0; i<siz; ++i)
		for (int j=0; j<siz; ++j)
			ans=max(ans,f[n][i][j]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}