矩阵 A A A 为半正定矩阵当且仅当存在非零的 x x x, 使得
x T A x > = 0 x^TAx >= 0 xTAx>=0 恒成立
设矩阵 A A A 为任意 m * n 矩阵, x x x 为任意非零 n 阶向量
记
v = A x v = Ax v=Ax
则
x T A T A x = ( A x ) T ( A x ) = v T v > = 0 x^TA^TAx = (Ax)^T(Ax) = v^Tv >= 0 xTATAx=(Ax)T(Ax)=vTv>=0
所以矩阵
A T A A^TA ATA 为半正定矩阵.
易知当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n 时 A T A A^TA ATA为正定矩阵