版权声明:所有内容仅供大家学习与复习使用,请勿用于任何商业用途;维特根斯坦曾说过,凡可说的,皆无意义。凡有意义的,皆不得不以荒唐的语言传递其意义。我十分赞同。 https://blog.csdn.net/qq_40828914/article/details/88687447
卷积积分
本质:信号分解
f(t)分解成基本信号δ(t)ε(t)的线性组合
一个基本信号的响应知道了,那么就可以求任意信号的响应
信号的时域分解
1.注意p(t)并不是δ(t),p(t)表示的面积为一,宽为Δ,高为1/Δ,但是δ(t)是Δ趋近于0。(注:p(t)是门函数,就是像一道门一样,比如在一定定义域内值为1,其他为0。值为1的定义域称为宽度,1就称为幅度。)
2.任意信号f(t)和p(t)关系,如果f(t)是个方波,而且宽为Δ,高为A,那么f(t)=AΔp(t),这里其实就是f(t)的面积乘1,因为p(t)面积为一。
3.现在如果f(t)不是方波,它是个任意信号,此时我们可以把他切成一系列方波。第n块的A=f(nΔ),宽度为Δ,而且第n块的p(t)由于可能不在原点,需要平移,p(t-nΔ),一块方波的信号=f(nΔ)Δp(t-nΔ),那么所有的方波就是下面的,这里n是整数
F(t)=n=−∞∑∞f(nΔ)Δp(t−nΔ)
4.然后对Δ求极限,我们想,所有方波如果它Δ趋近于0,那么它就变成了一个类似直线的东西,那么整体来看,对方波的和来说,Δ趋近于0,就意味着,此时最终得到的正是我们那个任意的曲线。
Δ→0limF(t)=f(t)=∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ
5.取极限后,离散和变成连续和,求和变成积分。nΔ变成连续的,我们称之为τ,然后Δ变成dτ。p(t-nΔ)宽读无穷小,高度无穷大,变成δ(t-τ)。
卷积公式
冲激响应性质:δ(t)->LTI零状态->h(t)
时不变性:δ(t-τ)->LTI零状态->h(t-τ)
齐次性:f(τ)δ(t-τ)->LTI零状态->f(τ)h(t-τ)
叠加性:∫−∞∞f(τ)δ(t−τ)dτ−>LTI零状态−>∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτ
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f(t)−>LTI零状态−>yzs(t)
可见零状态响应:
yzs(t)=∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτ
如果我们定义新运算’’:
yzs(t)=∫−∞∞f(τ)h(t−τ)dτ=f(t)∗h(t)
我们称为卷积运算。
卷积积分定义
定义式:
f(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
两个函数卷积完之后是一个关于t的函数F(t)。τ是积分变量,t是参变量,积分完之后,结果仍是关于t的函数。(定义式永远满足)
积分限可演变成其他限:
1.f1(t)=f1(t)ε(t),因果信号
f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)ε(τ)f2(t−τ)dτ=∫0+∞f1(τ)ε(τ)f2(t−τ)dτ
2.f2(t)=f2(t)ε(t),此时只有t-τ>0即τ<t时,ε(t-τ)才为1,其他都为0.
f1(t)∗f2(t)=∫−∞+∞f1(τ)f2(t−τ)ε(t−τ)dτ=∫−∞tf1(τ)f2(t−τ)ε(t−τ)dτ
3.f1(t)=f1(t)ε(t),f2(t)=f2(t)ε(t),此时积分限变为0到t,是上面两个的交集。
f1(t)∗f2(t)=∫0tf1(τ)ε(τ)f2(t−τ)ε(t−τ)dτ
卷积积分图解法:
可交换性,哪个翻转简单,哪个当作f2(t).
换元t变τ,翻转平移相乘,根据图形分类讨论,讨论的t是移动的变量,通过移动两个函数图像相交的情况判断上下限,积分积的是f1(t)*f2(t-τ),它可以写成F(τ)的形式,最后是关于t的函数,因为上下限包含了t。
分段求,积得是一个函数,只不过,他的上下限不同。确定上下限是关键,求某一时刻卷积值好求,这个直接求这个时刻重叠面积即可。
卷积就相当于对每一个变量t,计算两个信号重叠的面积。
卷积的性质:
代数性质:
交换律:f1(t)∗f2(t)=f2(t)∗f1(t)
分配律:f1(t)∗[f2(t)+f3(t)]=f1(t)∗f2(t)+f1(t)∗f3(t)
结合律:f1(t)∗[f2(t)∗f3(t)]=[f1(t)∗f2(t)]∗f3(t)
复合系统的冲激响应:
f(t)->h1(t)->h2(t)->yzs(t) 级联:h(t)=h1(t)*h2(t)
串联是两个系统的输出;级联是第一个系统的输出作为第二个系统的输入。
并联:h(t)=h1(t)+h2(t)
奇异函数的卷积特性:
f(t)∗δ(t)=f(t)
f(t)∗δ(t−t0)=f(t)
f(t)∗δ′(t)=f′(t)
f(t)∗ε(t)=∫−∞tf(τ)dτ
卷积的微积分性质:
卷积的n阶导数,等于对其中一个函数求n阶导数再卷积另一个函数。
dtndn[f1(t)∗f2(t)]=dtndnf1(t)∗f2(t)=f1(t)dtndnf2(t)
∫−∞t[f1(τ)∗f2(τ)]dτ=[∫−∞tf1(τ)dτ]∗f2(t)=[∫−∞tf2(τ)dτ]∗f1(t)
f1(t)∗f2(t)=f1′(t)∗f2−1(t)
最后这个式子有一个条件
f1′(−∞)=0或者f2−1(+∞)=0
卷积的时移特性:
若f(t)=f1(t)∗f2(t)
则:f1(t−t1)∗f2(t−t2)=f1(t−t1−t2)∗f2(t)=f(t−t1−t2)
也就是说,知道一个f(t)=f1(t)*f2(t),那么想要求f1(t-t1) *f2(t),可以直接代换f(t)为f(t-t1)。这就是卷积结果。注意这里t是个整体,所有t都得变。
常用卷积重要公式
δ(t)ε(t)τ
K∗f(t)=K⋅[f(t)波形的净面积值]
f(t)∗δ(t)=f(t)
f(t)∗δ′(t)=f′(t)∗δ(t)=f′(t)
f(t)∗ε(t)=f(t)∗δ(−1)(t)=f(−1)(t)∗δ(t)=f(−1)(t)
ε(t)∗ε(t)=tε(t)
e−a1tε(t)∗e−a2tε(t)=a2−a11(e−a1t−e−a2t)ε(t),(a1̸=a2)
e−atε(t)∗e−atε(t)=t∗e−atε(t),(a1=a2=a)
ε(t)∗e−atε(t)=a1(1−e−at)ε(t),(a1=0,a2=a)
卷积求解方法
1.利用定义式:容易求积分的函数,指数函数,多项式函数
f(t)=f1(t)∗f2(t)=∫−∞∞f1(τ)f2(t−τ)dτ
2.图解法,适合求某时刻点上的卷积值
3.性质,求个导数,求个积分,有δ(t)的话利用f(t)*δ(t)=f(t)就得到了。
4.常用公式后三个。
用梳状函数卷积产生周期信号
梳状函数:
δT(t)=m=−∞∑∞δ(t−mT)
由时移特性:
f(t)∗δ(t−t0)=f(t−t0)
则有:
f(t)∗δT(t)=f(t)∗m=−∞∑∞δ(t−mT)=m=−∞∑∞f(t−mT)
卷积的结果是一个周期信号,周期为T
这里如果T>f(t)的宽度,那么在卷积后的信号的每个周期内的波形都与f(t)相同
但是如果T<f(t)的宽度,那么各个相邻脉冲将会出现重叠。首的一部分和尾的一部分叠加
矩形脉冲的卷积产生三角形和梯形脉冲
具体是用图像法,两个门函数上下限,分别讨论。
两个不同宽的门函数卷积,结果为梯形函数,梯形的高为窄门的面积,上底为两个门宽函数宽度之差绝对值,下底为两个门函数宽读之和。
三角就是两个门函数门宽相同。
自相关互相关函数定义
比较某信号与另一延时τ的信号之间的相似度引入相关函数,可用于鉴别信号,雷达识别,通信同步信号识别。相关函数被称为相关积分,与卷积运算类似。
互相关函数:
R12(τ)=∫−∞∞f1(t)f2(t−τ)dt=∫−∞∞f1(t+τ)f2(t)dt
R21(τ)=∫−∞∞f2(t)f1(t−τ)dt=∫−∞∞f2(t+τ)f1(t)dt
只用记住第一个,前面t领先后面t了τ。这是对t积分。
一般情况,R12(τ)不等于R21(τ)
R12(τ)=R21(-τ)
R21(τ)=R12(-τ)
R12(τ)意思就是,1比2超前了τ。R21(-τ)意思就是2比以超前了-τ,这俩意义是一样的。只不过表达式不一样。
这个信号和另一个信号的相似程度
自相关:
R(τ)=∫−∞∞f(t)f(t−τ)dt
这个信号和另外一个时间的这个信号的相似程度。
自相关函数是一个偶函数。
R(τ)=R(-τ)
相关与卷积
卷积开始需要先将f2(τ)反折为f2(-τ),但是相关运算不需要。
R12(t)=f1(t)∗f2(−t)
若f1(t)和f2(t)均为实偶函数,则卷积与相关形式完全相同。