假设有点 $x_0 = (x_0^1,x_0^2,...x_0^m)$不在超平面 $y=wx*b$上，其中 $w = (w^1,w^2,...w^m)$，求 $x_0$到 $y=wx*b$的距离。

步骤一：证明 $w$为超平面 $y=wx+b$的法向量。
在超平面上取两个点 $x_1，x_2$，则有
$wx_1+b = 0$
$wx_2+b = 0$
$wx_1+b-(wx_2+b) =0$
$wx_1-wx_2=0$
$w(x_1-x_2)=0$
其中 $x_1-x_2$为位于超平面上的向量 $\vec{x_2x_1}$
$w$与 $x_1-x_2$内积为0， 由此得 $w$与超平面 $y=wx+b$正交。

步骤二：在 $y=wx+b$上取点 $x_0$的映射 $x_3$，

• $x_3$位于法平面上，故而 $wx_3+b=0$。
• $\vec{x_0 x_3}$平行于超平面上的法向量 $w$，故而有：
  $\lvert w \vec{x_0x_3}\rvert = \lvert w \rvert \lvert{x_0x_3}\rvert cos \theta$
  $= \lvert w \rvert \lvert{x_0x_3}\rvert = \rvert\vert w\vert\lvert d （d为x_0到超平面的距离, \rvert\vert w\vert\lvert 为L_2范数）$
  又 $\rvert w . \vec {x_0 x_3}\rvert = \rvert w. (x_3-x_0)\rvert$
  $=\rvert w.x_3 - w.x_0\rvert$
  $=\rvert -(b+w.x_0)\rvert$
  $=\rvert b+w.x_0\rvert$
  所以得到 $\rvert\vert w\vert\lvert d=\rvert b+w.x_0\rvert$
  $d=\frac{\lvert b+w.x_0\lvert}{\rvert\vert w\vert\lvert}$