下列哪些选项是泰勒级数在x=1处展示的式子?请选择正确的选项。
(1)1+x2+316x3+190x4+H.O.T
(2)25ln(x−1)+(x−1)2+(x−1)4+H.O.T
(3)12+3(x−1)+445(x−1)2+190(x−1)3
(4)∑k=0∞2kk!(x−1)k
(5)1+(x−1)+(x−1)2+(x−1)3+H.O.T
(6)∑k=0∞π2k(2k+1)!(x−1)k−1
分析:
(1)1+x2+316x3+190x4+H.O.T
这是泰勒多项式在x=0处的展开式,所以不符合题意。
(2)25ln(x−1)+(x−1)2+(x−1)4+H.O.T
ln(x−1)
不是
(x−1)
幂次项,所以不符合题意。
(3)12+3(x−1)+445(x−1)2+190(x−1)3
正确,虽然它看起来不是无限级数,幂次数超过3的系数全为0,可以写成
12+3(x−1)+445(x−1)2+190(x−1)3+0×(x−1)4+0×(x−1)5+0×(x−1)6+H.O.T
此外,再举一个例子:
x2
在
x=1处
的泰勒展开式为
1+2(x−1)+(x−1)2
。
(4)∑k=0∞2kk!(x−1)k
正确,符合泰勒级数在
x=1
处定义的展开式,但是我们注意到第一项
200!(x−1)0
在
x=0
处没有定义,这无关紧要,关键是看这一项的定义是否有极限,极限值是多少。
limx=1200!(x−1)0=1
,因此这一项本质上是常数项。
(5)1+(x−1)+(x−1)2+(x−1)3+H.O.T
正确,理由同(3)。
(6)∑k=0∞π2k(2k+1)!(x−1)k−1
化简后的第一项是
(x−1)−1
,我们知道在泰勒级数展开式中,关于未知数的幂次数是非负数的,是从0次幂开始(在定义处有极限值的常数项),所以不符合题意。
结论:
因此正确选项应为(3)、(4)、(5)。