$a_n>0$,$a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2$,求证:
(1) $a_{n+1}<a_n<2(n\in \mathbb{N}^*)$;
(2) $a_n>1(n\in \mathbb{N}^*)$.
证明:(2) 由 (1) 知 $a_n$ 单调递减有下界,则 $a_n$ 极限存在,设该极限为 $a$,
则 $a+\dfrac{1}{a}\leqslant 2$,即 $(a-1)^2\leqslant 0$,所以 $a=1$.
假设存在 $N$,使得 $a_N\leqslant 1$,
则 $a_{N+k}\leqslant a_{N+1}<1$,其中 $k\in \mathbb{N}^*$.
令 $k\to\infty$,得 $a\leqslant a_{N+1}<1$,
这与 $a=1$ 矛盾.
所以 $a_n>1$,对所有 $n\in \mathbb{N}^*$ 都成立.