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还记得小学时背过的“九九乘法表”吗?那是刚刚学习乘法的小学生的一道难关。我们小时候用过的铁制文具盒盖子里面就印着“乘法表”,像一个上三角形矩阵。
有一个笑话:上小学二年级的明明回家告诉妈妈:“今天数学考试有一道题问
3×7=?,我不会做。快下课时我不管三七二十一,写了个28上去!”这个笑话说明光会背公式是没有用的!
言归正传。大一的同学学习矩阵的乘法是也会觉得挺抽象的。所以,今天我们就来聊聊“矩阵乘法”这点事儿!
符号
A为
n阶方阵.
ei=(0,⋯,0,1,0,⋯,0)T, 其中第
i个分量等于
1.
x=(x1,x2,⋯,xn)T.
小写希腊字母如
α常常表示
n维列向量,而
αT则表示
n维行向量.
rowi指矩阵
A的第
i行,
coli指矩阵
A的第
i列.
我们仅考虑实数域。
###乘法口诀
矩阵
AB来相乘,左右首先要分清;
乘法没有消去律,左右因子不能去;
矩阵乘法真有趣,且听我来说详细:
行乘以列得实数,效果等于做内积;
非零列乘非零行,积乃方T阵秩为1;
A左乘以列向量,等于
A列作组合;
A乘
ei很容易,直将
i列来提取;
行向量左乘以
A, 等于
A行作组合;
ei转置把
A乘,
i行取出便为积;
初等矩阵左右乘,行列变换显神奇。
注释及应用
- 行乘以列得实数,效果等于做内积;
非零列乘非零行,积乃方阵秩为1.
解释:
-
αTβ是一个实数. 且
αTβ=βTα.
-
αβT是一个方阵。当
α̸=0,β̸=0时,
αβT是一个秩等于1的方阵.
-
tr(αβT)=αTβ.这里
tr(αβT)表示方阵
αβT的迹,就是它的主对角元的和.
例1 设
α=⎝⎛123⎠⎞,βT=(212),A=αβT, 计算:
An.
解:
An=αβTαβT⋯αβTαβT=α(βTα)⋯(βTα)βT=α(βTα)n−1βT=(βTα)n−1αβT=(βTα)n−1A
因为
βTα=1×2+2×1+3×2=10,所以,
An=10n−1A,
其中,
A=⎝⎛246123246⎠⎞.
-
A左乘以列向量,等于
A列作组合;
A乘
ei很容易,直将
i列来提取;
解释:
(1)A⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞=x1col1+x2col2+⋯+xncoln.
(2)A⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0⋮1⋮0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=coli.
例2 计算:
(1)⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛111⎠⎞;
(2)⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛101⎠⎞;
(3)⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛001⎠⎞;
(4)⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛111101001⎠⎞
解:(1)由公式(1),
⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛111⎠⎞=1⋅⎝⎛120⎠⎞+1⋅⎝⎛2−12⎠⎞+1⋅⎝⎛142⎠⎞=⎝⎛454⎠⎞.
(2) 由公式(1),
⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛101⎠⎞=1⋅⎝⎛120⎠⎞+0⋅⎝⎛2−12⎠⎞+1⋅⎝⎛142⎠⎞=⎝⎛262⎠⎞.
(3) 由公式(2),
⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛001⎠⎞=⎝⎛142⎠⎞.
(4) 由(1)-(3)题,用左边的矩阵每次乘以右边矩阵的一列,得,
⎝⎛1202−12142⎠⎞⎝⎛111101001⎠⎞=⎝⎛454262142⎠⎞.
结束的话
掌握了上面的计算矩阵乘法的方法,一次算一列,是不是感觉特棒?
(未完待续)
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