题目描述

如果一个包含 $N$个元素的数组 $a$里面的元素的值是在 $1...K$之间的整数，存在多少个不同的数组 $a$，进行了如上扫描之后， $max$恰好进行了 $P$次更新

把答案 $mod (10^9+7)$输出

题目解析

$DP$

数组 $f[i][j][k]$表示前 $i$位，最大值为 $j$,并且已经更新了 $k$次的方案数

那么 $f[i][j][k]=f[i-1][q][k-1]+f[i-1][j][k]*j$,其中 $q$为所有小于 $j$数字

因为当我们在最后一位加入 $j$时,所有第 $i$位之前最大的数比 $j$小的方案都会更新一次,所以要加上所有的 $f[i-1][q][k-1]$， $q$要小于 $k$

如果第 $i$位之前最大的数已经为 $j$,则本次不会更新,但第 $i$位可以填入任何比 $j$小的数,所以加上 $f[i-1][j][k]*j$

最后输出 $f[n][k][p]$即可

可用前缀和优化一下第二步

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int M=1e9+7;
int T,n=100,k=300,p=99,ans;
long long f[105][305][105],sum[105][305][105];

int main()
{
	for(int i=1;i<=k;i++)
    {
      f[1][i][0]=1;
      sum[1][i][0]=i%M;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=k;j++)
     {
       f[i][j][0]=((f[i][j][0]%M)+(f[i-1][j][0]%M)*(j%M))%M;
       sum[i][j][0]=((sum[i][j][0]%M)+(f[i][j][0]%M)+(sum[i][j-1][0]%M))%M;
       for (int s=1;s<=p;s++)
       {
         f[i][j][s]=((f[i][j][s]%M)+(sum[i-1][j-1][s-1]%M)+(f[i-1][j][s]%M)*(j%M))%M;
         sum[i][j][s]=((sum[i][j][s]%M)+(f[i][j][s]%M)+(sum[i][j-1][s]%M))%M;
       }
     }
	cin>>T;
	while(T--)
	{
	  cin>>n>>k>>p;
	  cout<<sum[n][k][p]<<endl;
	}
}