$题目:$
$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i, j)=k]$

$做法：$

$设f(k)为gcd(i,j)=k的个数$, $g(k)为满足k|gcd(i,j)的对数$， $那么有下面的关系$
$g(k)=\sum_{x = 1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}f(kx)$

$我们只需要快速求出g(k) ,可知如果i,j能被k整数，那么它们可以写成i = k\cdot x_{1}, j = k \cdot x_{2}的形式, 我们只需求多少对x_{1},x_{2}即可,可得$
$g(k) = \lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{k}\rfloor$

$根据莫比乌斯反演的变形，可求得f(k)$

$f(k) = \sum_{x = 1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor}\mu(x)g(kx) =\sum_{x = 1}^{\lfloor\frac{n}{k}\rfloor} \lfloor\frac{n}{kx}\rfloor\lfloor\frac{m}{kx}\rfloor$

$显然f(k)就是答案,暴力求复杂度是O(n)的，如何快速求？\\这里可以使用数论分块来做, \lfloor\frac{n}{d}\rfloor最多有O(\sqrt{n}个取值)$

$复杂度可以做到O(n+m)$