带锁的门

在走廊上有N个带锁的门，从1到N依次编号。最初所有的门都看关着的。我们从门前经过n次，每一次都从1号门开始。在第i次经过时（i = 1,2,...,n）。我们改变i的整数倍号锁的状态：如果门是关的，就打开它；如果门是开的，就关闭它。在最后一次经过后，哪些门是关上的，哪些门是开着的？有多少开着的门。

题目来自于《算法设计与分析基础》。

解决

首先，我们来尝试收购小规模来模拟一下这个过程。刚开始所有的门都是关着的，那么我们第一次经过的时候，所有的门都被打开。然后，我们接着第二次经过，这次我们将关闭是2的倍数的门。我们发现2 ，4， 6，等偶数门都被关上。第三次，我们经过的时候，所有3的倍数的门都被打开或者关上（例如：6现在是打开的，3是关闭的）。我们发现了这个规律是：“第i次经过的时候，如果门的序号是i的倍数，那么门的状态将被改变，也就是说，门的状态改变的次数取决于它的序号所含的因数有多少个。”

那么我们尝试写一下。

刚开始门是关闭的，因此经过偶数次改变门的状态，门的最终状态是关闭的；经过奇数次改变门的状态，门最终的状态是开启的。观察发现，只有1,4,9这三个数字的因数有奇数个，它们最终是被打开的。1,4,9这个序列我们比较容易联想到完全平方数序列1,4,9,16,25.,...。事实证明确实只有完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。

完全平方数

如果一个正整数 a 是某一个整数 b 的平方，那么这个正整数 a 叫做完全平方数。零也可称为完全平方数。其性质如下：

（1）平方数的个位数字只能是 0， 1，4，5，6，9 。

（2）任何偶数的平方一定能被 4 整除；任何奇数的平方被 4(或 8)除余 1，即被4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。

（3）完全平方数的个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。完全平方数的个位数字是 6 时，其十位数字必为奇数。

（4）凡个位数字是 5 但末两位数字不是 25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个 0 的自然数不是完全平方数；个位数字是 1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。

（5）除 1 外，一个完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都是偶数，如果一个数质分解后， 各个指数都为偶数， 那么它肯定是个平方数。 完全平方数的所有因数的总个数是奇数个。因数个数为奇数的自然数一定是完全平方数。

（6）若质数 p 整除完全平方数 a，则  |a。(表示整除)

（7）如果 a 、b 是平方数， a=bc ，那么 c 也是完全平方数。

（8）两个连续自然数的乘积一定不是平方数，两个连续自然数的平方数之间不再有平方数。

（9）如果十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之也成立。

推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

（10）偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。

（11）奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。（奇数：n比那个所乘的数-1；偶数：n比那个所乘的数-2）

（12）形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

（13）不是5的因数或倍数的数的平方为5k+-1型，是5的因数或倍数的数为5k型。

（14）形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

（15）性质11：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。

（16）在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。

（17）一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。

以上性质摘自百度百科。