逆元
为了解决像这一种问题\(\frac ab \mod p\)的问题,常常是无法正常的取模的。
所以这个时候就用到了逆元。
什么意思?
设\(d\)为\(b\)在\(\mod p\)意义下的逆元,那么就可以是除法变成加法。
说的再明白一点就是\(\frac ab \mod p = (a \times d) \mod p\),而在乘法运算中可以随便膜,那么就膜去吧。
逆元的计算方法
以下的代码都是\(a\)关于膜\(p\)的逆元。
方法A-扩展欧拉定理\(exgcd\)
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (!b) { x = 1; y = 0; return a; }
ll d = exgcd(b, a % b, x, y), z = x; x = y; y = z - y * a / b;
return d;
}
ll inv(ll a, ll p) {
ll x, y, d = exgcd(a, b, x, y);
return (x % p + p) % p;
}
方法B-费马小定理
适用于模数为素数
void power(ll x, ll y, ll MOD) {
ll res = 1; x %= MOD;
for (; y; y >>= 1) { if (y & 1) res = (res * x) % MOD; x = (x * x) % MOD; }
return res;
}
ll inv(ll a, ll p) { return power(a, p - 2, p); }
方法C-线性公式
inv[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i ++) inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;