Congruence Equation(数论)

题目大意

给出a,b,p,x求解方程
$n\cdot a^n\equiv b(mod\ p)$
中所有 $n\le x$ 的解的数量

解题思路

显然 $n\cdot a^n$有循环节 $p\cdot(p-1)$，因此找出最小的解minn之后 $(x-minn)/(p\cdot(p-1))$即为这一最小解所对应的最多的解的数量.其中n有循环节p， $a^n$有循环节p-1.将n分解为 $n=j\cdot(p-1)+i$,原式就可以等效为 $(i-j)\cdot a^i\equiv b(mod\ p)$也就可以等效为 $i-j\equiv b\cdot a^{-i}(mod\ p)$再通过移项就可以得到 $i-b\cdot a^{-i}\equiv j(mod \ p)$那么每一个确定的i就可以唯一确定一个j也就唯一确定了一个n也就是最小解

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 
typedef long long LL;
int quick_pow(int a,int b,int p)
{
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		b>>=1;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;	
}
int32_t main()
{
	int a,b,p;LL x;
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&p,&x);
	LL ans=0;
	for(int i=1;i<=p-1;i++)
	{
		int y=1LL*b*(quick_pow(quick_pow(a,i,p),p-2,p))%p;
		LL temp=1LL*(p-1)*((i-y+p)%p)+i;
		if(temp<=x)
		ans=ans+(x-temp)/(1LL*p*(p-1))+1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}