CC的整本书主要是想要研究在粘性解的框架下的一致椭圆方程解的正则性。我们试着一章一章来解析他。

序言部分也是值得每一个字细读的，主要讲述了他们的工作的主要内容，即在粘性解的框架下研究解的正则性，需要特别注意的是，他研究的是一致椭圆方程，整本书的理论并没有超出出Bellman方程，Issac方程的范围。实际上，我们可以把他们看作是某种思想方法的一个总结，期望可以将这些想法推广到其他方程上面去，当然Caffarelli成功的将他们应用到MA方程的研究中。第一章，CC给出了用来研究粘性解正则性的一个“天才”式的想法，即用抛物面的接触，线性函数的逼近来研究函数的性质。特别是对于二阶导数，他们用$\theta$函数来控制，它是一个可测函数，且用它可以控制二阶导数的在逐点意义下的值。这一点，才开始学时是不能太明白的。就好比，你要描叙一个函数在二阶导数的值的绝对值不超过1，那么你如果直接用逐点的导数来说明，那么这样一个结果在迭代过程中是没有用处的，必要要有一个Infinitasmal的角度来描述，也就是相当于减掉线性部分以后，用$r^2$来控制就能说明这才是你真正想要的东西。实际也就是，你需要一个Scaling不变的，且可以进行迭代的目标，否则就没法做了，这在散度型方程里面就需要用极大函数来描述，而极大函数恰恰是Scaling不变的。也就能说明什么叫“一阶导数、二阶导数”在某一点的值的绝对值不超过1. 有了这样一个定义之后，结合广义函数理论和Riesz表示定理就可以将解的二阶导数的估计用差分来替代，这样就为$W^{2,p}$估计奠定了基础。接下来的内容主要是凸分析和几何测度论的基本知识，特别值得主义的是下半凸函数的几乎处处逐点可微分性质，这在后来的证明中扮演者极其重要的角色。

在第二章，CC给出了粘性解的定理，用常微分方程和调和函数演示了粘性解和古典解的一致性。在给出一致椭圆的定义后，他们开始讨论连续粘性解的定义。这里其实我一直有一个疑问，解的存在性如何保证呢？即$F(M,x)$依赖于$x$的情形。同时关于后来Prop2.8的粘性解延拓定理右端怎么又可以间断了呢？种种迹象总使我觉得有些费解，后来看了wang，Ishii等人的文章发现，最早的二阶方程解的存在性中的粘性解的定义里面并不需要解连续的条件，这也就能理解wang在博士论文中的那句"Ishii用唯一性（比较定理）来证明解的存在性"。其实问题的关键在于你的粘性解是否连续。而Ishii后来主要是通过用边界值相同的上、下解的存在和比较定理的存在来证明连续粘性解的存在性。那么问题又来了，Ishii或者Jensen所说的方程，就算是含有$x$的情形他们所加的条件都比连续性要强。所以我当时困惑了。后来找到了99年Lions等人写的一个关于此类方程的连续到边的粘性解的存在性（包括C-粘性解，L^p粘性解），这才完全解决了我的困惑，他们主要是通过对F逼近来做的。当然这里面最重要的，当然是所谓的比较定理要成立了。同时我觉得不能用第三章的CC的ABP估计来证明比较定理，应为最初是的粘性解是完全不连续的，不知道的，只能用Ishii或者Jensen的方法。接下来。。。