【算法】扔玻璃珠

题目
某幢大楼有100层。你手里有两颗一模一样的玻璃珠。当你拿着玻璃珠在某一层往下扔的时候，一定会有两个结果，玻璃珠碎了或者没碎。这幢大楼有个临界楼层。低于它的楼层，往下扔玻璃珠，玻璃珠不会碎，等于或高于它的楼层，扔下玻璃珠，玻璃珠一定会碎。玻璃珠碎了就不能再扔。现在让你设计一种方式，使得在该方式下，最坏的情况扔的次数比其他任何方式最坏的次数都少。也就是设计一种最有效的方式。

分析
1）最笨的办法：从第一层开始试，每次增加一层，当哪一层扔下玻璃珠后碎掉了，也就知道了。不过最坏的情况扔的次数可能为100。
2）随便挑一层，假如为N层，扔下去后，如果碎了，那就只能从第一层开始试了，最坏的情况可能为N；假如没碎，就一次增加一层继续扔吧，这时最坏的情况为100-N。也就是说，采用这种办法，最坏的情况为max{N, 100-N+1}。之所以要加一，是因为第一次是从第N层开始扔。
3）假如没摔的话，不如不要一次增加一层继续扔吧，而是采取另外一种方式：把问题转换为100-N，在这里面找临界楼层，这样不就把问题转换成用递归的方式来解决。

定义一个函数F（N），表示N层楼最有效方式最坏情况的次数；
通过上面的分析，有
F（N）=Min（
Max（1，1+F（N-1）），
Max（2，1+F（N-2））
…
Max（N-1，1+F（1））
）；
F（1）=1；
求F（100）；

int floor1(int N){
           int F[N+1];

           F[0]=F[1]=1;
           for(int i=2;i<=N;i++){
               F[i]=i;
               for(int j=1;j<i;j++){
                   int tmp=max(j, F[i-j]+1);
                   if(tmp<F[i]){
                       F[i]=tmp;
                   }
               }
           }
           return F[N];
       }
  int main()
      {
        int res=floor1(100);
          cout<<res;
          system("pause");
          return 0;
       }

将此题扩展为N个球，M层：

我们可以把M层楼 / N个鸡蛋的问题转化成一个函数 F（M，N），其中楼层数M和鸡蛋数N是函数的两个参数，而函数的值则是最优解的最大尝试次数。

假设我们第一个鸡蛋扔出的位置在第X层（1<=X<=M），会出现两种情况：

1.第一个鸡蛋没碎

那么剩余的M-X层楼，剩余N个鸡蛋，可以转变为下面的函数：

F（M-X，N）+ 1，1<=X<=M

2.第一个鸡蛋碎了

那么只剩下从1层到X-1层楼需要尝试，剩余的鸡蛋数量是N-1，可以转变为下面的函数：

F（X-1，N-1） + 1，1<=X<=M

整体而言，我们要求出的是 M层楼 / N个鸡蛋条件下，最大尝试次数最小的解，所以这个题目的状态转移方程式如下：

F（M，N）= Min（Max（ F（M-X，N）+ 1， F（X-1，N-1） + 1）），1<=X<=M

int getMinSteps(int eggNum, int floorNum){

   if(eggNum < 1 || floorNum < 1) {

       return 0;

   }

   //上一层备忘录，存储鸡蛋数量-1的floorNum层楼条件下的最优化尝试次数

   int preCache[floorNum+1];

   //当前备忘录，存储当前鸡蛋数量的floorNum层楼条件下的最优化尝试次数

   int currentCache[floorNum+1];


   //把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数

   for(int i=1;i<=floorNum; i++){

       currentCache[i] = i;

   }


   for(int n=2; n<=eggNum; n++){

       //当前备忘录拷贝给上一次备忘录，并重新初始化当前备忘录 

       for(int i=1;i<=floorNum; i++){
            preCache[i] = currentCache[i];
           currentCache[i] = i;

       }

       for(int m=1; m<=floorNum; m++){

           for(int k=1; k<m; k++){

               //扔鸡蛋的楼层从1到m枚举一遍，如果当前算出的尝试次数小于上一次算出的尝试次数，则取代上一次的尝试次数。

               //这里可以打印k的值，从而知道第一个鸡蛋是从第几次扔的。

               currentCache[m] = min(currentCache[m], 1+max(preCache[k-1],currentCache[m-k]));

           }

       }

   }

   return currentCache[floorNum];

}



int main() {

   cout<<getMinSteps(2,2080)<<endl;
   system("pause");
    return 0;
}

【算法】扔玻璃珠

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